ΤΟ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Ο Απολλώνιος “Μέγας Γεωµέτρης” της εποχής του διατύπωσε σε ένα από τα έργα του τις Επαφές το εξής γεωµετρικό πρόβληµα:

“∆οθέντων τριών σηµείων ή τριών ευθειών ή τριών κύκλων, να κατασκευαστεί ένας κύκλος που να εφάπτεται και στα τρία”

Η πρώτη περίπτωση είναι εύκολη. Ο κύκλος που περνάει από τρία σηµεία έχει το κέντρο του στο σηµείο που συντρέχουν οι µεσοκάθετοι του τριγώνου που έχει κορυφές τα σηµεία αυτά. Προφανώς δεν υπάρχει λύση αν τα σηµεία είναι συνευθειακά.

Η δεύτερη περίπτωση είναι επίσης εύκολη και δέχεται την εξής διερεύνηση:

• Αν οι ευθείες τέµνονται ανά δύο (χωρίς να συντρέχουν) σχηµατίζουν

τρίγωνο, οπότε ο ζητούµενος κύκλος είναι ο εγγεγραµµένος στο τρίγωνο αυτό.

• Αν οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και η τρίτη τις τέµνει, ο ζητούµενος

κύκλος έχει το κέντρο του µέσα στην ταινία των παραλλήλων, εκεί που

τέµνονται οι διχοτόµοι των σχηµατιζόµενων γωνιών. (2 λύσεις).

• Αν οι τρεις ευθείες συντρέχουν ή αν είναι παράλληλες, το πρόβληµα δεν

έχει λύση.

Η τρίτη περίπτωση µπορεί να αντιµετωπιστεί ευκολότερα µε αναλυτική γεωµετρία.

Αν είναι $(x_1,y_1), (x_2,y_2)$ και $(x_3,y_3)$ τα κέντρα των τριών κύκλων και $R_1, R_2, R_3$ οι ακτίνες τους και $(x,y)$, $R$ το κέντρο και η ακτίνα του ζητούµενου κύκλου, θα πρέπει να ισχύουν:

Οπότε προκύπτουν $8$ συστήµατα και κατά συνέπεια είναι δυνατόν να έχουµε το πολύ µέχρι $8$ λύσεις, ανάλογα µε τη διερεύνηση των συστηµάτων και το κατά πόσον οι προκύπτουσες λύσεις έχουν φυσική υπόσταση. Π.χ. αν οι κύκλοι είναι οµόκεντροι το πρόβληµα δεν έχει λύση. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση κάποια ή κάποιες από τις ακτίνες $R_1 R_2 R_3$ να είναι µηδέν. Πάντως το πρόβληµα επιδέχεται και γεωµετρική λύση µε κανόνα και διαβήτη.

Ειδικές περιπτώσεις

∆έκα συνδυασµοί σηµείων, κύκλων και ευθειών

Το απολλώνιο πρόβληµα συνίσταται στην κατασκευή ενός ή περισσοτέρων κύκλων

που να εφάπτονται σε τρία δεδοµένα αντικείµενα στο επίπεδο, τα οποία µπορεί να είναι κύκλοι, σηµεία, ή ευθείες. Έτσι προκύπτουν δέκα τύποι του προβλήµατος, ένας για κάθε συνδυασµό κύκλων, ευθειών και σηµείων, ο καθένας από τους οποίους µπορεί να κωδικοποιηθεί µε τρία γράµµατα, είτε Κ, Ε, or Σ αναλόγως αν το στοιχείο είναι κύκλος, ευθεία ή σηµείο αντίστοιχα.

Για παράδειγµα ο τύπος του απολλώνιου προβλήµατος µε ένα δεδοµένο κύκλο, µία ευθεία και ένα σηµείο σηµειώνεται ως ΚΕΣ.

Μερικές από αυτές τις ειδικές περιπτώσεις είναι πολύ ευκολότερο να επιλυθούν από την γενική περίπτωση των τριών κύκλων. Οι δύο απλούστερες περιπτώσεις είναι τα προβλήµατα της κατασκευής ενός κύκλου που να περνάει από τρία σηµεία (ΣΣΣ) ή να εφάπτεται σε τρεις ευθείες (ΕΕΕ), τα οποία επιλύθηκαν αρχικά από τον Ευκλείδη στα Στοιχεία. Για παράδειγµα το πρόβληµα ΣΣΣ µπορεί

να λυθεί ως εξής. Το κέντρο του κύκλου-λύση ισαπέχει από τα τρία σηµεία, και έτσι πρέπει να βρίσκεται στη µεσοκάθετο κάθε δύο εξ αυτών. Έτσι το κέντρο είναι το σηµείο τοµής οποιονδήποτε δυο από

τις µεσοκαθέτους δύο σηµείων. Παροµοίως στην περίπτωση ΕΕΕ το κέντρο πρέπει να βρίσκεται στην διχοτόµο της γωνίας που σχηµατίζεται από δύο από τις ευθείες και συνεπώς στο σηµείο τοµής δύο τέτοιων διχοτόµων. Εφόσον υπάρχουν δύο τέτοιες διχοτόµοι σε κάθε σηµείο τοµής των δεδοµένων ευθειών υπάρχουν τέσσερις λύσεις στο γενικό πρόβληµα ΕΕΕ.

Τα σηµεία και οι ευθείες µπορούν να θεωρηθούν ως ειδικές περιπτώσεις κύκλων, ένα σηµείο µπορεί να θεωρηθεί ως κύκλος µε απείρως µικρή ακτίνα και µία ευθεία ως κύκλος µε απείρως µεγάλη,

του οποίου το κέντρο βρίσκεται στο άπειρο. Από αυτή την οπτική το

απολλώνιο πρόβληµα συνίσταται στην κατασκευή κύκλων εφαπτόµενων σε τρεις δεδοµένους κύκλους. Οι υπόλοιπες εννιά περιπτώσεις µπορούν να θεωρηθούν ειδικές περιπτώσεις του γενικού προβλήµατος.

Αυτές οι ειδικές περιπτώσεις συχνά έχουν µικρότερο αριθµό λύσεων από το γενικό πρόβληµα. Για παράδειγµα κάθε αντικατάσταση ενός δεδοµένου κύκλου µε σηµείο υποδιπλασιάζει των αριθµό των λύσεων καθώς ένα σηµείο εφάπτεται ταυτόχρονα και εσωτερικά και εξωτερικά στην λύση.

Πηγή: eliasdiamantis