Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 454ο

 Του Ηλία Ζωβοϊλη   

'Εστω παραγωγίστμη συνάρτηση $f:R\to R$‚ με παράγωγο $f^{\prime }$ για την οποία ισχύει:

Δίνεται ακόμη ότι η εφαπτομένη της $C_f$ στο σημείο της ${\rm M}(e,f(e))$‚ διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

Γ1. Να αποδείξετε ότι 

Γ2.Να βρείτε τον $\lambda \in (0,+\mathrm{\infty })$, αν είναι γνωστό ότι ισχύει 

${\int }_1^{\lambda }{\displaystyle \frac{2f(\chi )}{\chi }}dx=2\lambda -1$

Γ3.Να αποδείξετε ότι για κάθε $\chi >4$ ισχύει 

${\chi }^2>ln\chi +\chi$ .

Πότε ισχύει η ισότητα;

Γ4.Αν γνωρίζετε ότι η εξίσωση $f(\chi )=\alpha$, έχει δύο ρίζες αντίθετες, να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει ο πραγματικός αριθμός $\alpha$.

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα