Τρίγωνο του Κέπλερ

Το τρίγωνο του Κέπλερ είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου τα μήκη των πλευρών είναι διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου.

Από το πυθαγόρειο θεώρημα έπεται ότι τα τετράγωνα των πλευρών για αυτή την ειδική περίπτωση ορθογώνιου τριγώνου, επίσης όροι μιας (άλλης) γεωμετρικής προόδου, έστω 1, x και x2 , εξάγονται από τη λύση της δευτεροβάθμιας εξισώσεως:

$1+x=x^2$

από την οποία προκύπτει ότι ο λόγος των μηκών των πλευρών ενός τριγώνου του Κέπλερ σχετίζεται με τον «χρυσό λόγο»:

και μπορεί να γραφεί ως: 

ή κατά προσέγγιση 

$1 : 1,272 : 1,618$. 

Τα τετράγωνα των πλευρών, όπως προαναφέρθηκε, είναι επίσης σε γεωμετρική πρόοδο (βλ. σχήμα) με λόγο τη χρυσή τομή.

Τρίγωνα με τέτοιους λόγους πλευρών πήραν το όνομα του Γερμανού μαθηματικού και αστρονόμου Γιοχάνες Κέπλερ (1571–1630), επειδή πρώτος αυτός απέδειξε ότι το τρίγωνο αυτό χαρακτηρίζεται από ένα λόγο ανάμεσα στα μήκη της μικρής κάθετης πλευράς και της υποτείνουσας ίσο με τον χρυσό λόγο[2]. Τα τρίγωνα του Κέπλερ συνδυάζουν δύο βασικές μαθηματικές έννοιες (το πυθαγόρειο θεώρημα και τον χρυσό λόγο) που συνάρπαζαν τον Κέπλερ, όπως δείχνει το παρακάτω απόσπασμα:

«Η γεωμετρία έχει δυο μεγάλους θησαυρούς: ο ένας είναι το θεώρημα του Πυθαγόρα και ο άλλος η διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο. Το πρώτο μπορεί να συγκριθεί με μια μάζα χρυσού, το δεύτερο μπορούμε να το αποκαλέσουμε ένα πολύτιμο κόσμημα.»

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια.