Του Ανδρέα Πάτση
Θεωρούμε μία συνάρτηση $f:R \rightarrow R$ για την οποία ισχύει:
$χ^2 \leq f (χ) \leq 3χ^2$
για κάθε $χ \in R$.
α. Να αποδείξετε ότι η $f $ είναι παραγωγίσιμη στο μηδέν.
β. Να λύσετε την εξίσωση
$f (χ) = 0$. 
ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
$f (χ) = -χ -1$
είναι αδύνατη.
Δίνεται ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $R$ .
γ. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $f$ που να είναι κάθετη στην $y = χ +2024$ και ταυτόχρονα διέρχεται από το σημείο $(0,-1)$.
δ. Να βρείτε αν υπάρχουν τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $f$.
ε. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $ξ_1 \in (0,1)$ και $ξ_2 \in (1,2)$ τέτοια ώστε:
Πρέπει να διορθωθεί η αρχική ανίσωση στην εκφώνηση ως εξής: x^2<=f(x)<= 3x^2.
ΑπάντησηΔιαγραφήΜε χρήση του κριτηρίου παρεμβολής βρίσκουμε f'(0)=0