Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 447ο

 Του Ανδρέα Πάτση   

Θεωρούμε μία συνάρτηση $f:R\to R$ για την οποία ισχύει: 

${\chi }^2\le f(\chi )\le 3{\chi }^2$

για κάθε $\chi \in R$. 

α. Να αποδείξετε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο μηδέν. 

β. Να λύσετε την εξίσωση 

$f(\chi )=0$. 

ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$f(\chi )=-\chi -1$ 

είναι αδύνατη. 

Δίνεται ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $R$ .

γ. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $f$ που να είναι κάθετη στην $y=\chi +2024$ και ταυτόχρονα διέρχεται από το σημείο $(0,-1)$. 

δ. Να βρείτε αν υπάρχουν τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της $f$. 

ε. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ${\xi }_1\in (0,1)$ και ${\xi }_2\in (1,2)$ τέτοια ώστε:

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα