Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 444ο

 Του Ανδρέα Πάτση   

Θεωρούμε συνάρτηση $f:R\to R$ παραγωγίσιμη και κυρτή και $F$ μια αρχική της $f$ στο $R$ για την οποία ισχύουν:

Να αποδείξετε ότι: 

α. υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \in (0.1)$ τέτοιο ώστε 

$f(\xi )={\displaystyle \frac{1}{3}}$

β. $f^{\prime }(1)=2$ και $\xi <{\displaystyle \frac{2}{3}}$

γ. υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $F$ που είναι παράλληλη στην ευθεία $y=2024x+2023$.

δ. ισχύει 

$3f^{\prime }(\chi )+6f(\chi )<2+6\chi f^{\prime }(\chi )$

για κάθε πραγματικό αριθμό $\chi$.   

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα