Έχετε δει ποτέ έναν αριθμό γραμμένο με θαυμαστικό; Αυτό ονομάζεται παραγοντικό και σας λέει να πολλαπλασιάσετε όλους τους αριθμούς από το ένα μέχρι τον αριθμό μαζί.
Για παράδειγμα, ο αριθμός $4!$ είναι ο αριθμός που παράγεται όταν πολλαπλασιάζονται όλοι οι αριθμοί από το $1$ έως το $4$:
$4! = 1 × 2 × 3 × 4$
που ισούται με $24$.
α) Υπολογίστε το $10!$ ?
β) Πόσες φορές μεγαλύτερο είναι το $10!$ από $5!$ ?
γ) Όταν ο αριθμός $50!$ υπολογίζεται και γράφεται πλήρως, πόσα μηδενικά είναι στο τέλος;
(α)10!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=3.628.800
ΑπάντησηΔιαγραφή(β)5!=1*2*3*4*5=120
3.628.800:120=30.240 φορές
(γ)Οι αριθμοί που έχουν ως παράγοντα το 5 είναι οι: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. 45, και 50.
Συνολικά 10 αριθμοί.
Όμως οι αριθμοί: 25, 50 έχουν το 5 ως παράγοντα δύο φορές. Επομένως το 5 εμφανίζεται ως παράγοντας 12 φορές. Άρα τα μηδενικά στο τέλος του 50! είναι 12.
Και για το 100!
ΑπάντησηΔιαγραφήΟι αριθμοί που έχουν ως παράγοντα το 5 είναι οι: 5, 10, 15, 20…90, 95, 100. Συνολικά 20 αριθμοί.
Όμως οι αριθμοί: 25, 50, 75 και 100, έχουν το 5 ως παράγοντα δύο φορές. Επομένως το 5 εμφανίζεται ως παράγοντας 24 φορές.
Μπορούμε επίσης να δούμε ότι το 2 εμφανίζεται ως παράγοντας τουλάχιστον 24 φορές (μετρώντας απλά τους ζυγούς αριθμούς). Επομένως το γινόμενο (2×5) εμφανίζεται 24 φορές, και τα μηδενικά στο τέλος του αριθμού 100! είναι 24.😀😀
Αλλά το 999! έχει κανένα μηδενικό στο τέλος;;
ΑπάντησηΔιαγραφή