Τομή κύβου με επίπεδο κάθετο στη διαγώνιο του

Mε αφορμή την ανάρτηση εδώ, ο αγαπητός συνάδελφος κ. Κώστας Δόρτσιος μου έστειλε αυτή την πολύ όμορφη εργασία. 

Εισαγωγικά

Από το δυναμικό σχήμα, το οποίο δημοσιεύτηκε στα Διασκεδαστικά Μαθηματικά του κ. Σωκράτη Ρωμανίδη με τίτλο ¨Κύβος μέσα από επίπεδο", έχω αναρτήσει την ανωτέρω εισαγωγική εικόνα και στη συνέχεια θα προσπαθήσω να επεκταθώ περισσότερο.

Το πρόβλημα

Αυτό που παρατηρείται από το δυναμικό αυτό σχήμα, είναι ουσιαστικά το πρόβλημα της τομής του κύβου με ένα επίπεδο, το οποίο είναι κάθετο σε μια διαγώνιο του κύβου.

Είναι γνωστό από τα μαθήματα της σχολικής, άλλοτε Στερεομετρίας, ότι η τομή του κύβου με το μεσοκάθετο επίπεδο της καθεμιάς από τις τέσσερες διαγώνιες του, είναι ένα κανονικό εξάγωνο. Το εξάγωνο αυτό έχει κορυφές τα μέσα των έξι από τις δώδεκα ακμές του κύβου, οι οποίες δεν συντρέχουν στις κορυφές οι οποίες είναι τα άκρα της εκάστοτε διαγωνίου του κύβου.

Επίσης είναι γνωστό, ότι το επίπεδο το οποίο είναι κάθετο σε κάθε μια από τις ανωτέρω διαγώνιες στα σημεία που χωρίζουν τη διαγώνιο σε λόγο $1:2$ ή $2:1$ διέρχεται από τις τρεις κορυφές του κύβου οι οποίες είναι πλησιέστερες στην άκρη της διαγωνίου αυτής. Επομένως οι τομές αυτές είναι ίσα ισόπλευρα τρίγωνα.

Όλα τα ανωτέρω τα βλέπουμε στο ακόλουθο σχήμα:

Αν τώρα το επίπεδο είναι κάθετο στη διαγώνιο, για παράδειγμα την $ΑΗ$ σε οποιοδήποτε άλλο σημείο αυτής, πλην των $Κ,Ρ,Π$ τότε η τομή θα είναι ισόπλευρο τρίγωνο ή εξάγωνο το οποίο έχει τις εναλλάξ πλευρές του ίσες. Από φαίνεται από το επόμενο σχήμα.

Όλα τα ανωτέρω αποτελούν προβλήματα σχετικά με τις τομές του κύβου με επίπεδο κάθετο σε μια διαγώνιό του και χρήζουν βέβαια αποδείξεις.

Επέκταση

Είναι φανερό ότι αν το επίπεδο που τέμνει τον κύβο είναι παράλληλο προς μια εκ των έξι εδρών του, τότε η τομή θα είναι πάντα ένα τετράγωνο. Αν το επίπεδο θα είναι παράλληλο προς μια των δώδεκα ακμών του τότε η τομή θα είναι ένα μεταβαλλόμενο κάθε φορά ορθογώνιο.

Τέλος σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση για την τομή που προκύπτει, θα πρέπει κάθε φορά να γίνεται ιδιαίτερη μελέτη.

Τελικά

Προκαλούμενος από το δυναμικό σχήμα που είδα στην ιστοσελίδα του φίλου μου Σωκράτη Ρωμανίδη, σκέφθηκα να ασχοληθώ με το θέμα αυτό της αντίστοιχης δυναμικής επεξεργασίας και παρουσιάζω το αποτέλεσμα της εργασίας μου.

Στιγμιότυπο 1

Στο σχήμα αυτό βλέπουμε έναν κίτρινο κύβο να βυθίζεται σε μια ήρεμη επιφάνεια νερού(φαίνεται μόνο η θαλασσί επιφάνεια) με ένα ελατήριο το οποίο είναι σταθερό σε ένα εξωτερικό σημείο της οροφής. Η κινούσα δύναμη είναι η δύναμη της βαρύτητας!

Δεξιότερα έχω σχεδιάσει ένα κανονικό εξάγωνο, στο οποίο αποτυπώνεται σχηματικά το είδος του πολυγώνου της τομής.

Αν ο κύβος είναι διαφανής τότε βλέπουμε το ακόλουθο σχήμα:

Στιγμιότυπο 2

κι ακόμα:

Αξίζει να σημειωθεί ότι το κανονικό εξάγωνο, μέσα στο οποίο βρίσκεται η εκάστοτε τομή του κύβου με το επίπεδο, είναι η ορθή προβολή του κύβου επί του επιπέδου.

Μια άλλη θεώρηση

Τα ανωτέρω τέσσερα σχήματα δηλώνουν όσα έχουν αναφερθεί προηγούμενα.

Τέλος αναρτώ και τη διεύθυνση εδώ, στην οποία μπορείτε να δείτε την όλη προσομοίωση του προβλήματος αυτού.

Βασιλεία Ελβετίας

12 Νοεμβρίου 2023