Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 438ο

 Του Ανδρέα Πάτση   

Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g: R \rightarrow R$ για τις οποίες ισχύουν: 

$f'(χ)g(χ)-g'(χ)f(χ)>g^2 (χ)$

για κάθε πραγματικό αριθμό $χ$ και η εξίσωση

$g(g(χ))=g(0)$ 

είναι αδύνατη στο $R$. 

α. Να αποδείξετε ότι $g (χ) \neq 0$ για κάθε  $χ\in R$. 

β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της 

$h(x)= \dfrac{f(χ)}{g(χ)}$,  $χ\in R$.

γ. Να λύσετε την εξίσωση 

$f(χ)g(1) -g(χ)f(1)=(x-1)g(χ)g(1)$. 

δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $α\in R$ τέτοιο ώστε :

$\dfrac{f(α)}{2023}+e^α \geq α + 1 + 2023g(α)$.

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα