Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 438ο

 Του Ανδρέα Πάτση   

Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f,g:R\to R$ για τις οποίες ισχύουν: 

$f^{\prime }(\chi )g(\chi )-g^{\prime }(\chi )f(\chi )>g^2(\chi )$

για κάθε πραγματικό αριθμό $\chi$ και η εξίσωση

$g(g(\chi ))=g(0)$ 

είναι αδύνατη στο $R$. 

α. Να αποδείξετε ότι $g(\chi )\ne 0$ για κάθε  $\chi \in R$. 

β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της 

$h(x)={\displaystyle \frac{f(\chi )}{g(\chi )}}$,  $\chi \in R$.

γ. Να λύσετε την εξίσωση 

$f(\chi )g(1)-g(\chi )f(1)=(x-1)g(\chi )g(1)$. 

δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\alpha \in R$ τέτοιο ώστε :

${\displaystyle \frac{f(\alpha )}{2023}}+e^{\alpha }\ge \alpha +1+2023g(\alpha )$.

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα