Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό θέμα 437ο

 Του Παύλου Τρύφωνος   

Θεωρούμε την συνάρτηση $f: R \rightarrow R$ με τύπο 

$f(χ)=χ^3+αχ+1$ 

για την οποία ισχύει

όπου $α$ είναι ένας σταθερός πραγματικός αριθμός. 

α) Να αποδείξετε ότι $α= -3$. 

β) Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $f$ σε οποιοδήποτε σημείο της $Μ(β,f (β))$, $β\neq0$ έχει με αυτήν και άλλο κοινό σημείο $Ν$ εκτός από το $Μ$.

γ) Υπάρχουν τέσσερις διαφορετικές θέσεις των σημείων $Μ,Ν$ του β) ερωτήματος, για τις οποίες ει εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της $f$ στα σημεία $Μ,Ν$ είναι κάθετες.

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα