Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό Θέμα 430ο (μέχρι τα θεωρήματα των συναρτήσεων)

 Του Ηλία Ζωβοΐλη  

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f:R\to R$ με τύπο:

Α. Να αποδείξετε ότι $\alpha =1$. 

Β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$f(\chi )=0$ 

έχει μοναδική ρίζα ${\chi }_0$, όπου ${\chi }_0\in (-1,0)$. 

Στα παρακάτω ερωτήματα, να θεωρήσετε ότι ${\chi }_0$ είναι ο αριθμός που αναφέρεται στο ${\rm B}$ ερώτημα. 

Γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε $\chi \in R$ ισχύει 

$f^2(x)+2x_{0}f(x)+x_{0}ln(x_0+1)>0$.

Δ. Αν γνωρίζετε ότι 

να βρείτε τούς $\lambda ,\mu \in R$. 

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα