Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό Θέμα 430ο (μέχρι τα θεωρήματα των συναρτήσεων)

 Του Ηλία Ζωβοΐλη  

Δίνεται συνεχής συνάρτηση $f: R\rightarrow R$ με τύπο:

Α. Να αποδείξετε ότι $α =1$. 

Β. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 

$f (χ) =0$ 

έχει μοναδική ρίζα $χ_0$, όπου $χ_0 \in (-1,0)$. 

Στα παρακάτω ερωτήματα, να θεωρήσετε ότι $χ_0$ είναι ο αριθμός που αναφέρεται στο $Β$ ερώτημα. 

Γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε $χ \in R$ ισχύει 

$f^2(x)+2x_0f(x)+x_0ln(x_0 +1)>0$.

Δ. Αν γνωρίζετε ότι 

να βρείτε τούς $λ,μ \in R$. 

Πηγή: Μαθη(μα)τικά θέματα