Σάββατο 11 Νοεμβρίου 2023

Συναρτησιακή σχέση [3]

Nα βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f : R → R$ για τις οποίες ισχύει
$f(x + y)f(x − y) = (f(x) + f(y))^2 − 4x^2 f(y)$
για κάθε $x, y ∈ R$.
Αναρτήθηκε από στις 11.11.23
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. michalis zartoulas11 Νοεμβρίου 2023 στις 3:38 μ.μ.

    Θέτοντας όπου x=y=0, βρίσκουμε f(0)=0. Θέτοντας όπου y=x στην αρχική και σύμφωνα με f(0)=0, παίρνουμε f(x)(f(x)-x^2)=0, για κάθε πραγματικό αριθμό x. Επομένως: (f(x)=0 ή f(x)=x^2), για κάθε πραγματικό αριθμό x.
    Έστω ότι υπάρχουν s,t διάφορα του 0, τέτοια ώστε f(t)=t^2 και f(s)=0.
    Θέτοντας x=t, y=s στην αρχική, παίρνουμε:
    f(t+s)f(t-s)=t^4 διάφορο του 0, άρα f(t+s),f(t-s) διάφορα του 0 και άρα f(t+s)=(t+s)^2 και f(t-s)=(t-s)^2 και συνεπώς (t^2-s^2-t^2)(t^2-s^2+t^2)=0 , από όπου s^2=2t^2 (1).
    Θέτοντας x=s,y=t στην αρχική, παίρνουμε:
    f(t+s)f(s-t)=t^4 -4s^2 t^2=-7t^4 διάφορο του 0, άρα f(t+s),f(s-t) διάφορα του 0 και άρα f(t+s)=(t+s)^2 και f(s-t)=(s-t)^2 και συνεπώς (t^2+s^2-t^2)(t^2+s^2+t^2)=0, από όπου 2t^2+s^2=0 (2).
    Από (1) και (2), είναι t=s=0, άτοπο.
    Επομένως, λύσεις είναι οι συναρτήσεις f(x)=0, για κάθε πραγματικό αριθμό x και f(x)=x^2, για κάθε πραγματικό αριθμό x.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)