Challenging Recreational Mathematics: Συναρτησιακή σχέση [1]

Τετάρτη 18 Οκτωβρίου 2023

Συναρτησιακή σχέση [1]

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις $f : R → R$ για τις οποίες ισχύει

$f (2f(x)) = f (x − f(y)) + f(x) + y$

για κάθε $x, y ∈ R$.

5 σχόλια:

michalis zartoulas18 Οκτωβρίου 2023 στις 5:23 μ.μ.
Την γράφω σύντομα, γιατί τρέχω για να φύγω... Για x=0, γίνεται f(2f(0))=f(-f(y))+f(0)+y ή ισοδύναμα:
f(-f(y))=f(2f(0))-f(0)-y, για κάθε y πραγματικό αριθμό από όπου προκύπτει ότι η f είναι 1-1 και επί και συνεπώς υπάρχει πραγματικός αριθμός α με f(a)=0
Θέτοντας x=a στην συναρτησιακή σχέση , παίρνουμε f(2f(a))=f(a-f(y))+f(a)+y ή ισοδύναμα:
f(0)=f(a-f(y))+y , για κάθε πραγματικό αριθμό y.
Θέτοντας στην τελευταία y=0, παίρνουμε :
f(0)=f(a-f(0)) και αφού η f είναι 1-1, προκύπτει ότι :
α-f(0)=0 ή a=f(0) από όπου παίρνουμε f(f(0))=0.
Θέτοντας όπου y=f(0) στην συναρτησιακή σχέση, παίρνουμε f(2f(x))=f(x)+f(x)+f(0), για κάθε x πραγματικό αριθμό. Επομένως: f(x)=x+f(0), για κάθε πραγματικό αριθμό x.
Τελικά, οι ζητούμενες συναρτήσεις είναι της μορφής f(x)=x+k, για κάποιον πραγματικό αριθμό k.
Για κάθε x,y πραγματικούς αριθμούς, είναι:
2f(x)=2x+2k άρα f(2f(x))=f(2x+2k)=2x+3k.
f(x-f(y))=f(x-y-k)=x-y.
f(x)=x+k
και πρέπει 2x+3k=2x+k από όπου k=0.
Επομένως, η μόνη συνάρτηση που επαληθεύει είναι η f(x)=x, για κάθε πραγματικό αριθμό x.
ΑπάντησηΔιαγραφή
Απαντήσεις
michalis zartoulas18 Οκτωβρίου 2023 στις 5:30 μ.μ.
Μου κεντρίζουν πάντα το ενδιαφέρον οι συναρτησιακές! Από που την πήρες Σωκράτη;
ΑπάντησηΔιαγραφή
Απαντήσεις
Σωκράτης Δ. Ρωμανίδης18 Οκτωβρίου 2023 στις 6:01 μ.μ.
Α ωραία Μιχάλη, να βάζω πιο συχνά😊 Από εδώ : https://eisatopon.blogspot.com/2023/10/challenging-mathematical-problems-1000.html
ΑπάντησηΔιαγραφή
Απαντήσεις

Προσθήκη σχολίου