Για την ιστορία του μαθηματικού συμβόλου $+$

 Του Ανδρέα Πούλου   

Το σύμβολο της πρόσθεσης (+) αριθμών, προφανώς δεν ήταν σε όλες τις εποχές και σε όλους τους πολιτισμούς το ίδιο. Στον αιγυπτιακό πάπυρο του Ahmes, (γύρω στο 1650 π.Χ.) η πρόσθεση εκφράζεται με ένα ζεύγος ποδιών που βαδίζουν προς τα δεξιά. 

Οι αρχαίοι Έλληνες εξέφραζαν τη διαδικασία της πρόσθεσης λεκτικά, αλλά μερικές φορές χρησιμοποιούσαν για τον σκοπό αυτό και το σύμβολο της πλάγιας γραμμής (/). Δεν έχουμε όμως όλες τις απαραίτητες πληροφορίες για να είμαστε βέβαιοι για αυτό τον ισχυρισμό, διότι τα περισσότερα έργα των Ελλήνων δεν σώζονται. 

Οι Ινδοί όπως και οι Έλληνες δεν είχαν σύμβολο για την πρόσθεση και την εξέφραζαν με λεκτικό τρόπο. Όμως, στην χειρόγραφη Αριθμητική του Bakhshali (γύρω στον 3ο με 4ο αιώνα) φαίνεται ένα ειδικό σύμβολο για την πράξη αυτή. 

Προς το τέλος του 15ου μ.Χ. ο Γάλλος μαθηματικός Nicolas Chuquet το 1484 και ο Ιταλός Luca Pacioli το 1494 χρησιμοποίησαν το γράμμα p για να συμβολίσουν την πρόσθεση. Πρόκειται για το πρώτο γράμμα της λέξης plus. 

Πιθανώς, αν και δεν είναι πλήρως διευκρινισμένο ότι το σύμβολο (+) έχει την καταγωγή του από τη λέξη et, η οποία στα Λατινικά – την κοινά αποδεκτή γλώσσα των διανοουμένων και επιστημόνων της Αναγέννησης σημαίνει «και». 

Είναι γνωστό ότι ο πρώτος που χρησιμοποίησε το σύμβολο (+) ως συντομογραφία της λέξης et είναι ο αστρονόμος Nicole d’ Oresme (1323-1382) στα μέσα του 14ου αιώνα στο έργο του με τον λατινικό τίτλο Algorismus proportionum, το οποίο θεωρούμε ότι γράφηκε μεταξύ των ετών 1356 και 1361. Σε ένα χειρόγραφο βιβλίο του 1417 υπάρχει το σύμβολο (+), αν δεν είναι εντελώς κάθετη η μία γραμμή του συμβόλου προς την άλλη. 

Σε μία χειρόγραφη γερμανική Άλγεβρα του 1481 που βρίσκεται στη βιβλιοθήκη του Dresden υπάρχουν τα σύμβολα (+) και (-) για την πρόσθεση και την αφαίρεση αντίστοιχα. Το 1489 έχουμε το πρώτο τυπωμένο βιβλίο Εμπορικής Αριθμητικής του Johannes Widmann. 

Αυτό τυπώθηκε στη Λειψία της Γερμανίας και σε αυτό εμφανίζονται τα σύμβολα (+) και (-), τα οποία από ότι φαίνεται ήταν σε περιορισμένη χρήση εκείνη την εποχή στη Γερμανία. Σε Γερμανικά βιβλία Αριθμητικής για εμπόρους των ετών 1518 και 1525 συναντάμε πάλι τα ίδια σύμβολα. 

Να σημειωθεί ότι σε αυτά τα βιβλία η χρήση των συμβόλων δεν είχε σχέση κυρίως με τις πράξεις πρόσθεση και αφαίρεση, με την αριθμητική και αλγεβρική τους έννοια, ούτε σχετίζονταν με θετικούς και αρνητικούς αριθμούς. 

Ήταν σύμβολα που αφορούσαν «εμπορικές» πράξεις όπως συλλογή και απομάκρυνση εμπορευμάτων από την αποθήκη κλπ. και το κυριότερο, πάντα αναφέρονταν σε ομοειδή ποσά. Υπάρχουν όμως πληροφορίες ότι στο Πανεπιστήμιο της Λειψίας χρησιμοποιούσαν τα (+) και (-) και ως σύμβολα των αντίστοιχων πράξεων.

Στην Ιταλία τα σύμβολα αυτά εμφανίστηκαν σε βιβλία του Christopher Clavius, ο οποίος ήταν Γερμανός αστρονόμος που ζούσε στην Ρώμη και σε βιβλία των μαθηματικών Gloriosi και Cavalieri στις αρχές του 1600. 

Ο Ολλανδός μαθηματικός Giel Vander Hoecke χρησιμοποίησε τα σύμβολα (+) και (-) στο βιβλίο του Een sonderlinghe boeck in dye edel conste Arithmetica, το οποίο εκδόθηκε στην Antwerp το 1514.

Θεωρείται μάλιστα ότι ο Vander Hoecke ήταν ο πρώτος που έκανε χρήση αυτών των συμβόλων ως καθαρά συμβόλων αλγεβρικών εκφράσεων, αν και οι ιστορικοί υποθέτουν ότι αυτός ακολούθησε την πρακτική του Grammateus. 

Ο Henricus Grammateus (γνωστός επίσης ως ο Ερρίκος ο Γραφεύς) εξέδωσε το 1518 ένα βιβλίο Αριθμητικής και Άλγεβρας με τον τίτλο Ayn new Kunstlich Buech στο οποίο γίνεται χρήση αυτών των συμβόλων, αν και τα είχε υιοθετήσει ως τέτοια πολύ νωρίτερα. 

Η πρώτη εμφάνιση των συμβόλων (+) και (-) σε Αγγλικά κείμενα έγινε το 1551 στο βιβλίο Άλγεβρας με τίτλο «The Whetstone of Witte» του μαθηματικού Robert Recorde, ο οποίος μάλιστα είναι ο πρώτος που εισήγαγε και το σύμβολο της ισότητας (=).

Στην παραπάνω εικόνα έχουμε έντυπη εμφάνιση το 1526, των συμβόλων (+) και (-) στο βιβλίο του Γερμανού Johannes Widmann με τον τίτλο «Behëde und Lubsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft». Πρόκειται για ανατύπωση του ίδιου βιβλίου εμπορικής Αριθμητικής που εκδόθηκε για πρώτη φορά το 1489.

Να σημειωθεί ότι η χρήση του σταυρού για το σύμβολο της πρόσθεσης πέρασε από διάφορες φάσεις. Ο Γερμανός Widmann όπως και ο Καρτέσιος προτιμούσαν τον ελληνικό σταυρό + αντί του λατινικού †, το οποίο προτιμούσαν άλλοι μαθηματικοί και φιλόσοφοι όπως οι Hume, Huygens και Fermat. Ορισμένοι μαθηματικοί όπως οι De Hortega και ο Halley προτιμούσαν το σύμβολο ✠. Τελικά, με το πέρασμα του χρόνου επικράτησε το γνωστό μας σύμβολο (+). 

Ενδιαφέρον έχει η απάντηση στο ερώτημα, πότε συναντάμε για πρώτη φορά τα σύμβολα (+) και (-) σε τυπωμένα βιβλία στην ελληνική γλώσσα. 

Για παράδειγμα, στο βιβλίο Πρακτικής Αριθμητικής του Εμμανουήλ Γλυζώνιου έκδοση του 1679 στη Βενετία με τίτλο «Βιβλίον πρόχειρον τοις πάσι: περιέχον την τε πρακτικήν αριθμητικήν, ή μάλλον ειπείν την λογαριαστικήν», δεν υπάρχει στο κείμενο το σύμβολο της πρόσθεσης ή της αφαίρεσης. Το βιβλίο έχει πολλές περιγραφές προβλημάτων των τεσσάρων αριθμητικών πράξεων, αλλά ο συγγραφέας δεν αισθάνεται την ανάγκη να κάνει χρήση κάποιου συμβόλου. Ούτε και στο βιβλίο του Μπαλάνου Βασιλόπουλου «Έκθεσις ακριβεστάτη της Αριθμητικής» που εκδόθηκε στη Βενετία το 1803 δεν υπάρχει έστω και μια φορά το σύμβολο της πρόσθεσης ή της αφαίρεσης. Σε περιπτώσεις που ο συγγραφέας κάνει πρόσθεση αριθμών την περιγράφει με λέξεις. 

Φαίνεται ότι κατά τον 17ο και 18ο σε ελληνικά βιβλία, μόνο σε βιβλία Άλγεβρας εμφανίζονται τα σύμβολα (+) και (-). Η πρακτική αυτή αλλάζει κατά τον 19ο αιώνα. Για παράδειγμα στο βιβλίο του Μιχαήλ Χρισταρή που εκδόθηκε στην Πάντοβα της Ιταλίας το 1804, αναφέρονται τα σύμβολα αυτά ως σύμβολα αλγεβρικών πράξεων και προσημασμένων αριθμών. Απόσπασμα από το βιβλίο του Δ. Χρησταρή, Πάντοβα, έτος έκδοσης 1804 στο οποίο φαίνονται τα σύμβολα (+) και (-) ως σύμβολα αλγεβρικών πράξεων  και προσημασμένων αριθμών.

Απόσπασμα από το βιβλίο του Δ. Χρησταρή, Πάντοβα, 

έτος έκδοσης 1804 στο οποίο φαίνονται 

τα σύμβολα (+) και (-) ως σύμβολα αλγεβρικών πράξεων

Περιοδικό Μελέτη Μάρτιος 2017