Σε μια μαθηματική Ολυμπιάδα, προσφέρθηκαν σε $100$ μαθητές να λύσουν τέσσερα προβλήματα. Το πρώτο πρόβλημα λύθηκε από ακριβώς $90$ μαθητές, το δεύτερο από ακριβώς $80$ μαθητές, το τρίτο από ακριβώς $70$ και το τέταρτο από ακριβώς $60$.
Κανένας συμμετέχων δεν έλυσε και τα τέσσερα προβλήματα. Στους μαθητές που έλυσαν τόσο το τρίτο όσο και το τέταρτο πρόβλημα δόθηκε βραβείο.
Πόσοι μαθητές έλαβαν το βραβείο;
Έστω ότι το κάθε πρόβλημα βαθμολογείται με ένα βαθμό.
ΑπάντησηΔιαγραφή(α) Από τους 100 μαθητές οι 90 μαθητές έλυσαν το πρόβλημα. Σύνολο βαθμών 90. Δεν το έλυσαν 10 μαθητές.
(β) Από τους 100 μαθητές οι 80 μαθητές έλυσαν το πρόβλημα. Σύνολο βαθμών 80. Δεν το έλυσαν 20 μαθητές.
Σύνολο χαμένων βαθμών: 10+20+30+40=100 βαθμοί.
(γ) Από τους 100 μαθητές οι 70 μαθητές έλυσαν το πρόβλημα. Σύνολο βαθμών 70. Δεν το έλυσαν 30 μαθητές.
(δ) Από τους 100 μαθητές οι 60 μαθητές έλυσαν το πρόβλημα. Σύνολο βαθμών 60. Δεν το έλυσαν 40 μαθητές.
Συνολική βαθμοί των 100 μαθητών 300.
Επομένως κανένας μαθητής δεν έλαβε βαθμό πάνω από 3, αφού κανείς δεν απάντησε και στα τέσσερα προβλήματα, αλλά και κανένας δεν έλαβε μικρότερο βαθμό από 3, διότι διαφορετικά θα είχαμε λιγότερους συνολικά βαθμούς από του 300.
Συμπέρασμα:
Κάθε μαθητής από τους 100 έλαβε 3 βαθμούς και κάθε μαθητής δεν έλαβε βαθμό από ένα πρόβλημα.
Στο τρίτο πρόβλημα απάντησαν 70 μαθητές, που έλαβαν βαθμό, και 30 μαθητές δεν έλαβαν βαθμό. (100-70=30).
Στο τέταρτο πρόβλημα απάντησαν 60 μαθητές, που έλαβαν βαθμό και 40 μαθητές δεν έλαβαν βαθμό.
Άρα:
Για το τρίτο και τέταρτο πρόβλημα από τους 100 μαθητές οι 70 μαθητές (30+40=70) δεν έλαβαν βαθμό και αυτοί που έμειναν, δηλαδή οι 30 μαθητές (100-70=30) τους απονεμήθηκε το βραβείο.