Ένα νησί έχει πληθυσμό από χαμαιλεόντων. Αυτή τη στιγμή, $34$ από αυτούς είναι κόκκινοι, $21$ είναι πράσινοι και $47$ είναι μπλε.
Κάθε φορά που συναντιούνται δύο χαμαιλέοντες διαφορετικού χρώματος, αλλάζουν και οι δύο στο τρίτο χρώμα. Κατά τα άλλα, δεν υπάρχουν αλλαγές χρώματος.
Είναι δυνατόν σε κάποια μελλοντική στιγμή, μετά από μια σειρά συναντήσεων, όλοι οι χαμαιλέοντες να έχουν το ίδιο χρώμα;
Αν προσθέσουμε στον πληθυσμό των πράσινων χαμαιλεόντων, το διπλάσιο του πληθυσμού των κόκκινων, έχουμε αποτέλεσμα Α = 21+2*34 = 89 ≡ 2mod3.
ΑπάντησηΔιαγραφήΣε κάθε συνάντηση δύο χαμαιλεόντων διαφορετικού χρώματος, συμβαίνει ένα από τα εξής:
π+κ=2μ => μεταβολή Α: -1+2*(-1)= -3
π+μ=2κ => μεταβολή Α: -1+2*(+2)= +3
κ+μ=2π => μεταβολή Α: +2+2*(-1)= 0
Η τιμή Α σε κάθε περίπτωση παραμένει αμετάβλητη ως προς την ισοτιμία mod3, άρα παραμένει σταθερά 2mod3.
Για να έχουν τελικά και οι 102 χαμαιλέοντες το ίδιο χρώμα, θα έπρεπε η τελική τιμή Α να είναι κατά περίπτωση αντιστοίχως:
102κ: Α = 0+2*102 = 204 ≡ 0mod3
102π: Α = 102+2*0 = 102 ≡ 0mod3
102μ: Α = 0+2*0 = 0 ≡ 0mod3
Εφόσον όμως η τιμή αυτή παραμένει σταθερά σε ισοτιμία 2mod3, το ζητούμενο είναι αδύνατο.