Η εις άτοπον απαγωγή είναι αντικείμενο μεγάλης μελέτης στα μαθηματικά, στην λογική, στην φιλοσοφία κλπ. Κατά καιρούς διάφοροι μελετητές θεώρησαν ότι δεν θα πρέπει να χρησιμοποιείται διότι ίσως δεν είναι τελείως ασφαλής μέθοδος.
Όμως η μαθηματική κοινότητα στο σύνολό της το απέρριψε κυρίως διότι, εάν απεκλείετο από τα αποδεικτικά εργαλεία η εις ΑΤΟΠΟΝ ΑΠΑΓΩΓΗ, τότε πολλά ιστορικά κομμάτια των μαθηματικών δεν μπορούσαν να εκτεθούν ή η διαχείριση τους γινότανε «περίεργη» ή εξαιρετικά δύσκολη, (π.χ. η θεωρία των παραλλήλων της ευκλείδειας γεωμετρίας). ..
Θα πρέπει ο μαθητής να συνειδητοποιήσει την δύναμη και τις ιδιαιτερότητες της μεθόδου αυτής.
Γενικώς η εις άτοπον απαγωγή είναι εννοιολογικά δυσκολότερη στην κατανόηση και την εφαρμογή της από την «ευθεία» απόδειξη. Όμως μας δίνει αποδείξεις σε καταστάσεις που η δεν υπάρχουν ευθείες αποδείξεις ή οι ευθείες αποδείξεις είναι εξαιρετικά δύσκολες.
Εξ άλλου όπου υπάρχουν διαθέσιμες αποδείξεις και ευθείες και δια της εις άτοπον απαγωγή, συνήθως οι ευθείες αποδείξεις απαιτούν μεν μεγαλύτερη επιδεξιότητα στην χρήση των διαθεσίμων εργαλείων, αφ ετέρου δεν δίνουν περισσότερη πληροφόρηση επί του υπό εξέτασιν θέματος.
Έκφραση των ανωτέρω φαινομένων βρίσκει κανείς, μεταξύ άλλων, και στα κατωτέρω παραδείγματα. α) Αν $α, β, γ$ είναι θετικοί πραγματικοί και $α^2 +β^2 = γ^2$, να αποδειχθεί ότι $α+β>γ$.
Δεν είναι δύσκολο να δοθούν αποδείξεις και με την εις ΑΤΟΠΟΝ ΑΠΑΓΩΓΗ και άνευ αυτής.
Ο μαθητής μπορεί να κληθεί να σχολιάσει: Ποια είναι καλύτερη; Ευκολότερη; Ποιά μας δίνει περισσότερες πληροφορίες;
β) Το άρρητον του $2^{1/2}$.
Με την ΕΙΣ ΑΤΟΠΟΝ ΑΠΑΓΩΓΗ έχουμε αποδείξεις λυκειακού επιπέδου, ενώ άνευ αυτής οι αποδείξεις είναι εξαιρετικά δύσκολες
γ) Υπάρχουν αριθμοί $α, β$ θετικοί πραγματικοί άρρητοι, τέτοιοι ώστε ο $αβ$ να είναι ρητός ?
Χωρίς την εις άτοπο απαγωγή η απόδειξη απαιτεί πολύ προχωρημένες γνώσεις.
Με την εις ΑΤΟΠΟΝ ΑΠΑΓΩΓΗ, υπάρχει προκλητικά απλή απόδειξη.
Η βασική ιδέα είναι ως ακολούθως:
Έστω $α=2^{1/2}$ και $β=α^α$. Προφανώς ισχύει $β^α =2$.
Η ευθεία απόδειξη ξεκινάει από τον ισχυρισμό ότι ο $α$ είναι άρρητος, κάτι που είναι εξαιρετικά δύσκολο να αποδειχθεί.
Αντιθέτως η εις άτοπο απαγωγή εξετάζει ξεχωριστά τις δυνατότητες ο $α$ άρρητος η όχι, και η απόδειξη έπεται σχεδόν άμεσα. Τελικά κάθε μία μέθοδος έχει «ένα συν και ένα πλην». To «συν» της εις άτοπον απαγωγής είναι ότι δίνει μία πολύ εύκολη απόδειξη.
Το «πλην» της είναι ότι δεν μας δίνει συγκεκριμένο παράδειγμα αριθμών $α, β$ που να ικανοποιούν το ζητούμενο, απλώς μας αποδεικνύει ότι κάπου υπάρχουν. Τα αντίθετα συν και πλην υπάρχουν στην ευθεία απόδειξη.
Από το έντυπο: ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Τάξεις: Α΄, Β΄, Γ΄), του Ι.Ε.Π.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου