Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΘΕΜΑ (15ο)

 Του Κώστα Ντούλα   

Δίνεται συνάρτηση $f$  συνεχής στο $R$ και γνησίως αύξούσα, με $f (0) = 1$ και σύνολο τιμών $f(R)=(0,+\infty)$.

i) Να δείξετε ότι:

(α) Ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση της $f$ και είναι γνησίως αύξουσα.

(β) Με δεδομένο ότι η $f^{-1}$ είναι συνεχής, να βρείτε το όριο 

$\lim_{χ \rightarrow 0} \big( \dfrac{1}{f^{-1}(χ)} + \dfrac{1}{χ} \big)$.

ii) Να δείξετε ότι η εξίσωση 

$f (χlnχ + ημχ) =1$ 

έχει μία τουλάχιστον θετική ρίζα. 

iii) Επιπλέον θεωρούμε συνάρτηση $g$ με 

$g(χ) = χ^2 - 2xf^{-1}(χ)$, $χ > 0$. 

Αν η $gof$ είναι σταθερή συνάρτηση να βρείτε την $f$.
Δίνεται η συνάρτηση 

$f(χ)= χ+ \sqrt{χ^2 +1}$. 

iv) Να λύσετε: 

(α) την εξίσωση 

$f (-χ)f (χ^3 -χ^2 -3χ+4)=1$. 

(β) την ανίσωση 

$2συνχ >f^{-1}(1+\sqrt{2})$.