Του Παύλου Τρύφωνος
Θεωρούμε συνάρτηση $f :[1,+\infty)$ με την ιδιότητα:
$f (χ) \geq χ -1$
για κάθε $χ \geq 1$.
α) Να αποδείξετε ότι:
β) Αν η $f$ είναι συνεχής, να αποδείξετε ότι δεν είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της.
γ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης $g$ με τύπο:
α.$\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)=+\infty $. Για x κοντά στο + άπειρο η συνάρτηση του α):$=\frac{\frac{7}{x}-1}{\left | f(x)+\frac{cosx}{x} \right |}$ με όριο στο +άπειρο το 0.
ΑπάντησηΔιαγραφήβ.Αν ήταν, λόγω συνέχειας θα ίσχυε:$\lim_{x\rightarrow 1}f(x)>\lim_{x\rightarrow +\infty }f(x)\Rightarrow f(1)>+\infty $, άτοπο.
γ.Για x τουλάχιστον 1:$f(x)+x^{2}-3x+2\geq x-1+x^{2}-3x+2=(x-1)^{2}\geq 0$, άρα το $[1,+\infty )$.
Πολύ όμορφα. Αλλιώς, για το (β).
ΔιαγραφήΕίναι στην ουσία παρόμοιο, αλλά μπορείς να πεις το εξής:
Είναι $ \displaystyle f(x) \geq x-1 $ , για κάθε $ \displaystyle x \geq 1 $ και αφού $ \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} x-1=+\infty $ , έπεται ότι :
$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty $
Αν η $ \displaystyle f $ ήταν γνησίως φθίνουσα στο $ \displaystyle \left [1,+\infty \right) $ , τότε αφού είναι και συνεχής σε αυτό, θα ήταν :
$ \displaystyle f \big( \big[1,\+infty \big) \big)= \big( \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x), f(1) a\big] $
που είναι άτοπο.
Το σύνολο τιμών της θα ήταν το κίτρινο:
Διαγραφή$ \displaystyle \big( \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x),f(1) \big] $