Ένας θετικός αριθμός τοποθετείται σε κάθε έναν από τους $10$ κύκλους αυτής της εικόνας.
Αποδεικνύεται ότι για κάθε ένα από τα εννέα μικρά ισόπλευρα τρίγωνα, ο αριθμός σε μία από τις γωνίες του είναι το άθροισμα των αριθμών στις άλλες δύο γωνίες του.
Είναι δυνατόν και οι $10$ αριθμοί είναι διαφορετικοί;
Ας υποθέσουμε πως είναι δυνατό.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω χ ο αριθμός στο κέντρο και α,β,γ,δ,ε,ζ κατά σειρά οι έξι γύρω από αυτόν αριθμοί (αγνοούμε τους αριθμούς στις τρεις άκρες).
Αν ο χ είναι ο μεγαλύτερος από τους εφτά, ως μεγαλύτερος, θα ισούται με το άθροισμα των δύο μικρότερων σε κάθε τρίγωνο, άρα χ=α+β=β+γ => α=γ, άτοπο.
Αν ο μεγαλύτερος από τους εφτά είναι κάποιος άλλος, έστω χ.β.γ. ο δ, τότε δ=χ+γ=χ+ε => γ=ε, άτοπο.
Επομένως είναι αδύνατο.