Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό Θέμα 414ο

 Του Ανδρέα Πάτση   

Δίνεται η συνάρτηση 

$f (χ) = e^{x-1} + e^{1-χ} + χ^2 — 2χ$, $χ\in R$. 

α. Να αποδείξετε ότι 

$e^χ + e^{-χ}\geq   2$ 

για κάθε $χ\in R$, με το "= " να ισχύει μόνο για $χ = 0$. 

β. Να αποδείξετε ότι η $f$ μόνο στο $1$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το $1$. 

γ. Να αποδείξετε ότι 

$f (ημχ )+ f (συνχ) > 2$ 

για κάθε $χ\in R$. 

δ. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $α, β, γ$ για τους οποίους ισχύει:

$f(α)+f(β) +f(γ)=3$.

Να λύσετε την εξίσωση :

$(α+β)^χ +(β+γ)^{-χ} =1+ συνχ$.

Πηγή: Μαθηματικά Γ Λυκείου (Πάτσης -Τρύφων)