Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικό Θέμα 414ο

 Του Ανδρέα Πάτση   

Δίνεται η συνάρτηση 

$f(\chi )=e^{x-1}+e^{1-\chi }+{\chi }^2—2\chi$, $\chi \in R$. 

α. Να αποδείξετε ότι 

$e^{\chi }+e^{-\chi }\ge 2$ 

για κάθε $\chi \in R$, με το "= " να ισχύει μόνο για $\chi =0$. 

β. Να αποδείξετε ότι η $f$ μόνο στο $1$ παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το $1$. 

γ. Να αποδείξετε ότι 

$f(\eta \mu \chi )+f(\sigma \upsilon \nu \chi )>2$ 

για κάθε $\chi \in R$. 

δ. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί $\alpha ,\beta ,\gamma$ για τους οποίους ισχύει:

$f(\alpha )+f(\beta )+f(\gamma )=3$.

Να λύσετε την εξίσωση :

$(\alpha +\beta {)}^{\chi }+(\beta +\gamma {)}^{-\chi }=1+\sigma \upsilon \nu \chi$.

Πηγή: Μαθηματικά Γ Λυκείου (Πάτσης -Τρύφων)