Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 15ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Στην προηγούμενη Μαθηματική Ολυμπιάδα, τα θρανία στην αίθουσα του διαγωνισμού ήταν διατεταγμένα σε  σειρές με  θρανία η καθεμιά, όπου  και  Σε κάθε ένα από τα θρανία καθόταν ένας μαθητής. 

Μαθητές που κάθονταν απευθείας δίπλα ο ένας στον άλλο, μπροστά ο ένας από τον άλλο ή διαγώνια ο ένας από τον άλλο, ονομάζονται γείτονες. Έτσι, οι μαθητές στη μέση της αίθουσας είχαν  γείτονες.

Πριν από την έναρξη του διαγωνισμού, κάθε μαθητής έκανε χειραψία μία φορά με κάθε γείτονά του. Συνολικά έγιναν  χειραψίες.

Πόσοι μαθητές συμμετείχαν στο διαγωνισμό;

ΘΕΜΑ 2ο

Έστω  οξυγώνιο τρίγωνο με  και σημείο  πάνω στην πλευρά  τέτοιο ώστε 

To σημείο  είναι εσωτερικό του τμήματος  Να δείξετε ότι  αν και μόνο αν 

ΘΕΜΑ 3ο

Να βρείτε όλες τις τριάδες πραγματικών αριθμών  που ικανοποιούν την εξίσωση

ΘΕΜΑ 4ο

Σε ένα τουρνουά σκακιού, κάθε παίκτης έπαιξε ακριβώς ένα παιχνίδι εναντίον καθενός από τους άλλους παίκτες. Σε κάθε παιχνίδι ο νικητής κέρδιζε  πόντο, ο ηττημένος  πόντους και σε περίπτωση ισοπαλίας, ο καθένας από τους δύο παίκτες κέρδιζε μισό πόντο.

Μετά την ολοκλήρωση του τουρνουά, διαπιστώθηκε ότι ακριβώς οι μισοί πόντοι που κέρδισε κάθε παίκτης προέρχονταν από τα παιχνίδια εναντίον των δέκα παικτών με τον μικρότερο αριθμό πόντων. (Ειδικότερα, οι παίκτες με τις δέκα χαμηλότερες βαθμολογίες κέρδισαν τους μισούς τους πόντους εναντίον των άλλων εννέα από τους δέκα).

Να προσδιορίσετε τον αριθμό των παικτών που συμμετείχαν στο τουρνουά.

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica