Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Το eisatoponai δημιουργεί και προτείνει - ΘΕΜΑ 1ο

Δίνονται οι συναρτήσεις:

$f(x)={\displaystyle \frac{e^x+x}{x+1}}$ ​ και $g(x)=lnx$

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης 

$h(x)={\displaystyle \frac{f(g(x))}{\sqrt{x}}}$.

β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση $h(x)$ είναι περιττή.

γ) Να βρείτε τα σημεία που η συνάρτηση $h(x)$ παρουσιάζει τοπικά ακρότατα (χωρίς τη χρήση παραγώγων).

δ) Να εξετάσετε την μονοτονία της συνάρτησης $h(x)$, στο διάστημα $(0,1)$ και στο $(1,\infty )$.

ε) Να βρείτε το όριο

  $\underset{x\to 0^{+}}{lim}h(x)$

στ) Να εξετάσετε αν ορίζεται η συνάρτηση $f\circ f$ και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.