Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενο Θέμα

 Tου Ανδρέα Πάτση   

Δίνεται συνάρτηση $f$ η οποία είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα $(-\mathrm{\infty },0]$ και γνησίως φθίνουσα στο $[0,+\mathrm{\infty })$.

Δίνεται επιπλέον ότι:

• $e^{f(0)}+f(0)=e^2+2$
• $f^2(-1)+2f^2(1)=2f(1)f(-1)$

α. Να αποδείξετε ότι 

$f(0)=2$ και $f(-1)=f(1)=0$. 

β. Να λύσετε την εξίσωση 

$f(\chi )=0$. 

γ. Να λύσετε την εξίσωση:

$f(\chi )+\sigma \upsilon \nu \chi =3$. 

δ. Να αποδείξετε ότι 

$f({\displaystyle \frac{1}{5}})f(-{\displaystyle \frac{1}{5}})f(2023)<0$.