Κυριακή 13 Αυγούστου 2023

Η μία έχει, η άλλη όχι

Έστω $a, b, c$ και $d$ πραγματικοί αριθμοί. Η εξίσωση 
$x^2 + ax + b = 0$ 
έχει δύο πραγματικές ρίζες, ενώ η εξίσωση 
$(x^2 - 2cx + d)^2 + a(x^2 - 2cx + d) + b = 0$ 
δεν έχει πραγματικές ρίζες. 
Αποδείξτε ότι
$d^2 + ad + b>c^4$.
Αναρτήθηκε από στις 13.8.23
Ετικέτες , ,

1 σχόλιο:

  1. kfd13 Αυγούστου 2023 στις 6:40 μ.μ.

    Το σύνολο τιμών του τριωνύμου $y=x^{2}-2cx+d$ είναι το $[d-c^{2},+\infty )$ και αφού η εξίσωση $y^{2}+ay+b=0$ είναι αδύνατη, πρέπει να ισχύει:
    $\frac{-a\pm \sqrt{a^{2}-4b}}{2}<d-c^{2}\Leftrightarrow $
    $-a\pm \sqrt{a^{2}-4b}<2d-2c^{2}\Leftrightarrow $
    $2c^{2}<2d+a\mp \sqrt{a^{2}-4b}\Leftrightarrow $.
    Mε πολλ/σμό τους κατά μέλη προκύπτει ότι:
    $4c^{4}<(2d+a)^{2}-(a^{2}-4b)\Leftrightarrow $
    $c^{4}<d^{2}+ad+b$.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)