Έστω $a, b, c$ και $d$ πραγματικοί αριθμοί. Η εξίσωση
$x^2 + ax + b = 0$ 
έχει δύο πραγματικές ρίζες, ενώ η εξίσωση
$(x^2 - 2cx + d)^2 + a(x^2 - 2cx + d) + b = 0$
δεν έχει πραγματικές ρίζες.
Αποδείξτε ότι
$d^2 + ad + b>c^4$.
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
1 σχόλιο:
Το σύνολο τιμών του τριωνύμου $y=x^{2}-2cx+d$ είναι το $[d-c^{2},+\infty )$ και αφού η εξίσωση $y^{2}+ay+b=0$ είναι αδύνατη, πρέπει να ισχύει:
ΑπάντησηΔιαγραφή$\frac{-a\pm \sqrt{a^{2}-4b}}{2}<d-c^{2}\Leftrightarrow $
$-a\pm \sqrt{a^{2}-4b}<2d-2c^{2}\Leftrightarrow $
$2c^{2}<2d+a\mp \sqrt{a^{2}-4b}\Leftrightarrow $.
Mε πολλ/σμό τους κατά μέλη προκύπτει ότι:
$4c^{4}<(2d+a)^{2}-(a^{2}-4b)\Leftrightarrow $
$c^{4}<d^{2}+ad+b$.