Σάββατο 26 Αυγούστου 2023

Ίσα εμβαδά

Στο σχήμα παρακάτω, το $ABC$ είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία στο $C$, και τα τετράπλευρα $ADEC$ και $BCFG$ είναι τετράγωνα. 
Αποδείξτε ότι το εμβαδόν του τετραπλεύρου $CYHX$ είναι ίσο με το εμβαδού του τριγώνου $AHB$.
Αναρτήθηκε από στις 26.8.23
Ετικέτες , , ,

2 σχόλια:

  1. kfd26 Αυγούστου 2023 στις 3:58 μ.μ.

    ADX όμοιο BCX άρα:$\frac{AX}{CX}=\frac{b}{a}$ άρα
    $\frac{(ADX)}{(BCX)}=(\frac{b}{a})^{2}$
    $(ABH)=(ABD)-(ADH)=\frac{b^{2}}{2}-(ADX)-(AXH)=
    \frac{b^{2}}{2}-\frac{b^{2}}{a^{2}}(BCX)^{2}-(ACY)+
    (CXHY)$.(1)
    ACY όμοιο ΑFG:$\frac{CY}{a}=\frac{b}{a+b}$=>
    $CY=\frac{ab}{a+b}$
    BCX όμοιο BED:$\frac{CX}{b}=\frac{a}{a+b}$=>
    $CX=\frac{ab}{a+b}$
    Άρα
    $(BCX)=\frac{aCX}{2}=\frac{a^{2}b}{2(a+b)}$ και
    $(ΑCΥ)=\frac{b^{2}a}{2(a+b)}$
    Από (1) $=\frac{b^{2}}{2}-\frac{b^{3}}{2(a+b)}-
    \frac{ab^{2}}{2(a+b)}+(CXH)=(CXH)$


    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. kfd26 Αυγούστου 2023 στις 5:29 μ.μ.

    (CXHY) στα 2 τελευταία αντί (CXH).

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)