Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 6ο ΤΕΣΤ

 ΘΕΜΑ 1ο

Έστω  μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει

Να δείξετε ότι υπάρχουν τρεις από αυτούς των οποίων το άθροισμα είναι τουλάχιστον 

ΘΕΜΑ 2ο

Οι θετικοί ακέραιοι  και  είναι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί  και  να είναι τέλεια τετράγωνα, διαφορετικά ανά δύο.

Να βρείτε την ελάχιστη δυνατή τιμή του 

ΘΕΜΑ 3ο

Χρωματίζουμε τα κελιά ενός πίνακα  χρησιμοποιώντας δύο χρώματα, μαύρο και κόκκινο.

Σε πόσους από αυτούς τους χρωματισμούς ισχύει ότι κάθε γραμμή και κάθε στήλη περιέχει ακριβώς δύο μαύρα και δύο κόκκινα κελιά;

ΘΕΜΑ 4ο

Έστω τρίγωνο  και  σημείο στο εσωτερικό του τέτοιο ώστε τα κέντρα  και  των περιγεγραμμένων κύκλων  και  των τριγώνων  και  αντίστοιχα, να βρίσκονται εκτός του τριγώνου 

Επιπλέον, υποθέτουμε ότι τα σημεία  και  είναι συνευθειακά όπως και τα σημεία  και  Η ευθεία που περνάει από το  και είναι παράλληλη στην  τέμνει τους κύκλους  και  στα  και  αντίστοιχα, όπου 

Να δείξετε ότι 

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica