Το μήκος της μικρότερης πλευράς ενός παραλληλογράμμου είναι $2012$. Οι διχοτόμοι των δύο οξειών ές γωνιών του απέχουν μεταξύ τους $20$ μονάδες.
Οι διχοτόμοι των δύο αμβλειών γωνιών του απέχουν μεταξύ τους $21$ μονάδες.
Υπολογίστε το μήκος της μεγαλύτερης πλευράς του παραλληλογράμμου.
Aν ΑΒΓΔ το παρ/μμο με Α οξεία, ΑΒ=2012 και χαράξουμε τις διχοτόμους των αμβλειών γωνιών του, τότε αυτές δημιουργούν με τις μεγαλύτερες πλευρές του παρ/μμου ύψους 21 και βάσης την βάση των 2 ισοσκελών τριγώνων με ίσες πλευρές από 2012 και γωνία κορυφής Α.
ΑπάντησηΔιαγραφήΙσχύει (ΑΒΓΔ)=$2012^{2}ημΑ+21\cdot 4024\cdot ημ\dfrac{A}{2}$(1)
Oι διχοτόμοι των οξειών σχηματίζουν παρ/μμο με τις μεγαλύτερες πλευρές του παρ/μμου ύψους 20 και βάσης την βάση των 2 ισοσκελών τριγώνων με ίσες πλευρές από 2012 και γωνία κορυφής Β.
Ισχύει (ΑΒΓΔ)=$2012^{2}ημΑ+20\cdot 4024\cdot συν\dfrac{A}{2}$(2), επειδή Α,Β παρ/κές.
Από (1),(2) $21ημ\dfrac{A}{2}=20συν\dfrac{A}{2}$
και από τον βασικό τύπο τριγ/ας $ημ\dfrac{A}{2}=\dfrac{20}{29}$,$συν\dfrac{A}{2}=\dfrac{21}{29}$.
Άρα $ημΑ=\dfrac{840}{841}$ και (ΑΒΓΔ)=$ΒΓ\cdot 2012\cdot ημΑ$ και εξισώνοντας τα εμβαδά έχω
ΒΓ=2041.