Τεστ εξάσκησης για την Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα «ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» των μικρών (κάτω των 15,5 ετών) - 7ο ΤΕΣΤ

ΘΕΜΑ 1ο

Οι πραγματικοί αριθμοί  και  είναι τέτοιοι ώστε

 και 

Να υπολογίστε την διαφορά 

ΘΕΜΑ 2ο

Μια ακολουθία διαδοχικών θετικών ακεραίων λέγεται ισορροπημένη αν περιέχει το ίδιο πλήθος πολλαπλασίων του 3 και πολλαπλασίων του 5.

Να βρείτε το μέγιστο δυνατό αριθμό όρων που μπορεί να έχει μια ισορροπημένη ακολουθία.

ΘΕΜΑ 3ο

Θεωρούμε κύκλο  κέντρου  και σημείο  εκτός αυτού. Οι εφαπτόμενες στον  από το  εφάπτονται σε αυτόν στα σημεία  και . Έστω  διάμετρος του  Αν οι ευθείες  και  τέμνονται στο  και οι ευθείες  και  τέμνονται στο , να υπολογίσετε την τιμή του λόγου

.

ΘΕΜΑ 4ο

Διαθέτουμε σκακιέρα  και  πιόνια. Θέλουμε να τοποθετήσουμε τα 111 πιόνια στα κελιά της σκακιέρας έτσι ώστε σε δύο οποιαδήποτε κελιά με κοινή πλευρά τα πιόνια να διαφέρουν κατά 1. Κάποια κελιά μπορούν να μην περιέχουν καθόλου πιόνια.

(α) Να δείξετε ότι αυτό είναι δυνατόν για μια σκακιέρα 

(β) Να δείξετε ότι αυτό δεν είναι δυνατόν για μια σκακιέρα 

(γ) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του  για την οποία αυτό είναι δυνατόν.

 Επιμέλεια: Θανάσης Κοντογεώργης 

Πηγή: mathematica