Απόδειξη θεωρήματος Rolle

Θεώρημα

Εστω $f : [a, b] → R$. Υποθέτουμε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $[a, b]$ και παραγωγίσιμη στο $(a, b)$.

Υποθέτουμε επιπλέον ότι 

$f(a) = f(b)$. 

Τότε, υπάρχει $x_0 ∈ (a, b)$ ώστε 

$f' (x_0) = 0$. 

Απόδειξη 

Εξετάζουμε πρώτα την περίπτωση που η $f$ είναι σταθερή στο $[a, b]$, δηλαδή 

$f(x) = f(a) = f(b)$

για κάθε $x ∈ [a, b]$. 

Τότε, $f' (x) = 0$ για κάθε $x ∈ (a, b)$ και οποιοδήποτε από αυτά τα $x$ μπορεί να παίξει το ρόλο του $x_0$. 

΄Εστω λοιπόν ότι η $f$ δεν είναι σταθερή στο $[a, b]$. 

Τότε, υπάρχει $x_1 ∈ (a, b)$ ώστε $f(x_1) \neq f(a)$ και χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι $f(x_1) > f(a)$. 

Η $f$ είναι συνεχής στο $[a, b]$, άρα παίρνει μέγιστη τιμή: υπάρχει $x_0 ∈ [a, b]$ ώστε 

$f(x_0) = max{f(x) : x ∈ [a, b]} ≥ f(x_1) > f(a)$. 

Ειδικότερα, $x_0\neq a, b$. 

Δηλαδή, το $x_0$ βρίσκεται στο ανοικτό διάστημα $(a, b)$. Η $f$ έχει (ολικό) μέγιστο στο $x_0$ και είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$. 

Από το Θεώρημα Fermat συμπεραίνουμε ότι 

$f' (x_0) = 0$. 

✷ Το θεώρημα μέσης τιμής είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος του Rolle