Απόδειξη θεωρήματος Rolle

Θεώρημα

Εστω $f:[a,b]\to R$. Υποθέτουμε ότι η $f$ είναι συνεχής στο $[a,b]$ και παραγωγίσιμη στο $(a,b)$.

Υποθέτουμε επιπλέον ότι 

$f(a)=f(b)$. 

Τότε, υπάρχει $x_0\in (a,b)$ ώστε 

$f^{\prime }(x_0)=0$. 

Απόδειξη 

Εξετάζουμε πρώτα την περίπτωση που η $f$ είναι σταθερή στο $[a,b]$, δηλαδή 

$f(x)=f(a)=f(b)$

για κάθε $x\in [a,b]$. 

Τότε, $f^{\prime }(x)=0$ για κάθε $x\in (a,b)$ και οποιοδήποτε από αυτά τα $x$ μπορεί να παίξει το ρόλο του $x_0$. 

΄Εστω λοιπόν ότι η $f$ δεν είναι σταθερή στο $[a,b]$. 

Τότε, υπάρχει $x_1\in (a,b)$ ώστε $f(x_1)\ne f(a)$ και χωρίς περιορισμό της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι $f(x_1)>f(a)$. 

Η $f$ είναι συνεχής στο $[a,b]$, άρα παίρνει μέγιστη τιμή: υπάρχει $x_0\in [a,b]$ ώστε 

$f(x_0)=maxf(x):x\in [a,b]\ge f(x_1)>f(a)$. 

Ειδικότερα, $x_0\ne a,b$. 

Δηλαδή, το $x_0$ βρίσκεται στο ανοικτό διάστημα $(a,b)$. Η $f$ έχει (ολικό) μέγιστο στο $x_0$ και είναι παραγωγίσιμη στο $x_0$. 

Από το Θεώρημα Fermat συμπεραίνουμε ότι 

$f^{\prime }(x_0)=0$. 

✷ Το θεώρημα μέσης τιμής είναι άμεση συνέπεια του θεωρήματος του Rolle