$$f(x) = x^3+2\sqrt{x}+2$$
Να υπολογιστεί
$(f^{-1})'(5)$.
Έρχεται το πολλαπλό βιβλίο ΝΕΟ — βρες όλες τις επιλογές εδώ
PDF & Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα — χωρίς εγγραφή • Portify
📚 437 βιβλία🎬 22.000+ Ψηφιακά Μαθησιακά Αντικείμενα
Δες τα βιβλία →
2 σχόλια:
$\lim_{x\rightarrow 5}\dfrac{f^{-1}(x)-f^{-1}(5)}{x-5}$ θέτω $u=f^{-1}(x)$ και ισούται με
ΑπάντησηΔιαγραφή$\lim_{u\rightarrow 1}\dfrac{u-1}{f(u)-5}$=
$\dfrac{1}{f΄(1)}=\dfrac{1}{4}$, αφού f γνήσια αύξουσα άρα 1-1 και f(1)=5.
Έχουμε την συνάρτηση y= x^3 +2sqrt(x)+2 θέτοντας όπου y το x και όπου x το y έχουμε την εξίσωση x=y^3+2sqrt(y)+2 (1), όπου y=inverse f(x).
ΑπάντησηΔιαγραφήΠαραγωγίζοντας τα δύο μέλη της εξίσωσης (1) έχουμε: 1=3y^2 y'+1/sqrt(y) y' , και λύνοντας ως προς y' έχουμε y'= 1/(3y^2 +1/sqrt(y)) (2).
H τιμή y=inverse f(5) είναι η μοναδική λύση της εξίσωσης f(x)=5 της οποίας η προφανής λύση είναι x=1.
Από την (2) έχουμε: y'(5)=1/(3+1) =1/4