Παρασκευή 28 Ιουλίου 2023

Τρία σημεία επαφής

Στο παρακάτω σχήμα, τα $A,B,C$ είναι σημεία επαφής.
Να βρεθεί ο $χ$.
Αναρτήθηκε από στις 28.7.23
Ετικέτες

5 σχόλια:

  1. Στράτος28 Ιουλίου 2023 στις 11:08 π.μ.

    Αν ρ η ακτίνα του κύκλου (=3/16), Ο το κέντρο του κύκλου και D το σημείο τομής των δύο εφαπτομένων, τότε η απόσταση CD ισούται με ρ+2ρ (όπως εύκολα προκύπτει απο το ορθογώνιο τρίγωνο OBD στο οποίο οι γωνίες είναι 30 και 60 μοίρες).

    Επομένως Χ=3ρ-1/2=1/16

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. michalis zartoulas28 Ιουλίου 2023 στις 11:11 π.μ.

    χ=1/16(έχω λύση εκτός σχολικών πλαισίων ☺️)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. michalis zartoulas28 Ιουλίου 2023 στις 11:12 π.μ.

    Έχω διαφορετικη λύση από του Στρατού. Θα την γράψω σε λίγο .

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. michalis zartoulas28 Ιουλίου 2023 στις 11:28 π.μ.

      Έστω D η τομή των δύο εφαπτομένων και K η δεύτερη τομή της ευθείας DC με τον κύκλο.
      Τότε CK διάμετρος του κύκλου, άρα $ \displaystyle CK=\frac {3}{8} $
      Επομένως , είναι:
      $ \displaystyle DK=x+\frac {1}{2}-\frac {3}{8}=x+\frac {1}{8} $
      $ \displaystyle DC=x+\frac {1}{2} $
      Επειδή DB εφαπτόμενο τμήμα , έπεται ότι :
      $ \displaystyle DB^{2}=DC \cdot DK $
      Όμως $ \displaystyle DB^{2}= \big(\frac {3}{16}\tan 60^\circ \big)^{2}=\frac {27}{256} $
      Άρα $ \displaystyle \big(x+\frac {1}{2}\big) \big(x+\frac {1}{2}\big) =\frac {27}{256} $
      και λοιπά.

      Διαγραφή
    2. michalis zartoulas28 Ιουλίου 2023 στις 11:29 π.μ.

      typo (x+1/8)(x+1/2)=27/256

      Διαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)