Το $ABC$ είναι ορθογώνιο τρίγωνο με $BC = 3, AB = 4$ και $AC = 5$. Ο κύκλος με κέντρο $C$ και ακτίνα $CB$ συναντά την υποτείνουσα $AC$ στο $D$, ο κύκλος με κέντρο $B$ και ακτίνα $BA$ συναντά την κάθετη πλευρά $BC$ (στην προέκταση) στο $E$, και ο κύκλος με κέντρο $A$ και ακτίνα $AC$ συναντά την $AB$ (στην προέκτσησ) στο $F$.
Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου $DEF$ (δεν φαίνεται).
(Α) $6$ (Β) $\dfrac{31}{5}$ (Γ) $6,5$ (Δ) $7$ (Ε) $\dfrac{46}{5}$
Σωστό (Β)
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ λύση μου χρησιμοποιεί αρκετή τριγωνομετρία εκτός σχολικών πλαισίων. 😊
ΑπάντησηΔιαγραφήΕC=1,BF=1,DA=2 και με ΠΘ στο ΕΒF ΕF=$\sqrt{17}$, (DAF)=0,5*sinA*DA*AF=3=$\sqrt{τ(τ-ΑF)(τ-ΑD)(τ-DF)}$ και με x=DF
ΑπάντησηΔιαγραφή(τ η ημιπερίμετρος)=>9=$\dfrac{49-x^{2}}{4}$
*$\dfrac{x^{2}-9}{4}$=>$x^{2}=45 ή 13$=>η τιμή 45 απορρίπτεται αφού Α οξεία x^2<20, άρα x=$\sqrt{13}$.
(DEC)=0,5*cosA*1*3=1,2=$\sqrt{τ(τ-DC)(τ-ED)(τ-EC)}$=>y^4-20y^2+87,04=0=>y^2=13,6 ή 6,4(απορρίπτεται αφού DCE αμβλυγώνιο) και y=DE.
Άρα y=$\sqrt{13,6}$ και με τύπο Ήρωνα (DEF)=6,2.