Δύο άτομα συμφωνούν να συναντηθούν σε μια καφετέρια. Ο καθένας τους διαλέγει μία τυχαία χρονική στιγμή μεταξύ $9$ π.μ. και $10$ π.μ. και εμφανίζονται ακριβώς στην επιλεγμένη ώρα.
Είναι όμως πολύ ανυπόμονοι και μένουν μόνο $5$ λεπτά μετά την άφιξή τους.
Ποια είναι η πιθανότητα να συναντηθούν;
(A) $\dfrac{19}{144}$ (B) $\dfrac{23}{144}$ (C) $\dfrac{29}{144}$ (D) $\dfrac{31}{144}$ (E) $\dfrac{37}{144}$
Πιθανολογώ 23/144 (β). Παρακαλώ, αν κάποιος φίλος θέλει να πει ότι συμφωνεί (ή διαφωνεί), να το κάνει αιτιολογημένα..☺
ΑπάντησηΔιαγραφήΣε ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, παριστάνουμε, από 0 έως 60, στον άξονα χ το 60λεπτο πιθανής έλευσης του ενός και στον άξονα ψ το 60λεπτο πιθανής έλευσης του άλλου. Για να συναντηθούν οι δύο, πρέπει |χ-ψ|≤5 (1). Το εμβαδόν της περιοχής σημείων που ικανοποιούν την (1) είναι 60^2-55^2=115*5, ενώ το εμβαδόν της συνολικής περιοχής ορισμού είναι 60^2. Επομένως η πιθανότητα να συναντηθούν είναι 115*5/60^2=23/144
ΔιαγραφήΕξ' ορισμού μας δίνεται ότι συνάντηση θα πραγματοποιηθεί στο διάστημα από τις 9 π.μ. μέχρι τις 10 π.μ., δηλαδή μέσα σε μια ώρα. Άρα ο δειγματοληπτικός έλεγχός θα είναι τα 60 λεπτά (έναρξη 0:0 λεπτά για τις 9 μέχρι τέλος 0:60 για τις 10).
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ συνολικός αριθμός των δυνατοτήτων συνάντησης των δύο ατόμων θα είναι από 0 λεπτά έως 60 λεπτά.
Επομένως ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούν να συναντηθούν είναι:
Συνολικές Δυνατότητες:
60*60=3.600 (1)
Η συνολική πιθανότητα να μη συναντηθούν θα κυμαίνεται από 0 λεπτά έως 55 λεπτά (60-5), εφόσον εξ' ορισμού είναι πολύ ανυπόμονοι και μπορούν να περιμένουν μέχρι 5 λεπτά. Επομένως ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους δεν μπορούν να συναντηθούν είναι:
Συνολικές πιθανότητες μη συνάντησης:
55*55=3.025 (2)
Για να βρούμε τις συνολικές δυνατότητες συνάντησης θ' αφαιρέσουμε τις δυνατότητες της μη συνάντησης από τις συνολικές δυνατότητες κι' έχουμε:
(1)-(2) ===> 3.600-3.025=575 δυνατότητες συνάντησης (3)
Για να υπολογίσουμε τον λόγο πιθανότητας, διαιρούμε τις συνολικές πιθανότητες συνάντησης με τις συνολικές δυνατότητες κι' έχουμε:
575/3.600 (4)
Διαιρούμε τους συντελεστές του κλάσματος (4) με το 25 κι' έχουμε:
575:25/3.600:25 ===> 23/144 (5)
Άρα η σωστή απάντηση είναι η (Β) 23/144