Ελάχιστη απόσταση σημείου από καμπύλη

Στο παρακάτω σχήμα η καμπύλη $C$ είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f$ που είναι συνεχής στο $[\alpha ,\beta ]$ και το $M_0(x_0,y_0)$ είναι ένα σημείο του επιπέδου,

i) Να βρείτε τον τύπο της απόστασης $d(x)=(M_{0}M)$ του σημείου $M_0(x_0,y_0)$ από το σημείο $M(x,f(x))$ της $C_f$ για κάθε $xϵ[\alpha ,\beta ]$. 

ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση $d$ είναι συνεχής στο $[\alpha ,\beta ]$ και στη συνέχεια ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, σημείο της $C_f$ που απέχει από το $M_0$ λιγότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της και ένα, τουλάχιστον, σημείο της $C_f$ που απέχει από το $M_0$ περισσότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της.

Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών Προσατολισμού της Γ Λυκείου.