Λογότυπο εταιρείας

Η Mαρκέλα σχεδιάζει ένα λουλούδι μέσα σε έναν κύκλο για το λογότυπο μιας εταιρείας. Κάθε πέταλο αποτελείται από ένα ημικύκλιο με ακτίνα $a$ που συνδέεται με ισοσκελές τρίγωνο με δύο πλευρές μήκους $b$, μια πλευρά βάσης μήκους μήκους $c$, και γωνία κορυφής $30°$. 

(Σημειώστε ότι $c = 2a$.) Ένας κύκλος ακτίνας $r$ σχεδιάζεται γύρω από το λουλούδι έτσι ώστε η άκρη κάθε πέταλου να αγγίζει ακριβώς την περιφέρεια του κύκλου. 

(α) Ποια είναι η κεντρική γωνία των τεσσάρων γειτονικών πετάλων μαζί;

(β) Το λογότυπο έχει $12$ πέταλα. Αν η γωνία κορυφής κάθε πετάλου ήταν $20°$ αντί για $30°$, πόσα πόσα πέταλα θα υπήρχαν;

(γ) Ας υποθέσουμε ότι κάθε αυτοτελής περιοχή του λογότυπου είναι χρωματισμένη. Κάθε αυτοτελής περιοχή του λογότυπου δεν μπορεί να έχει το ίδιο χρώμα με μια γειτονική της περιοχή. Πόσα διαφορετικά χρώματα χρειάζονται;

Για τις παρακάτω ερωτήσεις υποθέστε ότι $b = 3$ cm.

(δ) (i) Δείξτε ότι το μήκος του $c$ είναι $1,553$ cm. 

(ii) Βρείτε το εμβαδόν ενός μεμονωμένου πετάλου.

(ε) Βρείτε το εμβαδόν του εξωτερικού κύκλου που δεν καλύπτεται από το λουλούδι.