α) Έστω ότι ένα ορθογώνιο φύλλο χαρτιού, όταν διπλωθεί στη μέση και κοπεί κατά μήκος της πτυχής, σχηματίζει δύο μικρότερα φύλλα χαρτιού με τον ίδιο λόγο μήκους προς πλάτος με το αρχικό φύλλο.
Να βρεθεί ο λόγος του μήκους προς το πλάτος. Δικαιολογήστε την απάντησή σας.
(β) Αν το αρχικό φύλλο χαρτιού, που περιγράφηκε παραπάνω, έχει εμβαδόν $1$ $m2$ το ονομάζουμε $Α_0$ φύλλο χαρτιού.
Μπορεί να διπλωθεί στη μέση και να κοπεί για να σχηματίσει δύο φύλλα $Α_1$. Αυτά μπορούν να είναι να διπλωθούν στη μέση και να κοπούν για να σχηματίσουν φύλλα $Α_2$.
Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία δημιουργούμε τα φύλλα $Α_3$ και $Α_4$ φύλλα χαρτιού.
Το φύλλο χαρτιού $Α_4$ είναι το τυποποιημένο χαρτί γραφείου που χρησιμοποιείται στις περισσότερες χώρες του κόσμου.
Το φύλλο χαρτιού $Α_4$ έχει διαστάσεις $2^α$ μέτρα επί $2^β$ μέτρα.
Βρείτε τα $α$ και $β$.
α.Αν α,β οι αρχικές τιμές μήκους,πλάτους στο φύλλο $Α_{0}$, τότε β,$\dfrac{α}{2}$ οι αντίστοιχες τιμές στο φύλλο $Α_{1}$ και θα ισχύει
ΑπάντησηΔιαγραφή$\dfrac{α}{β}=\dfrac{2β}{α}$<=>
$\dfrac{α}{β}=\sqrt{2}$.
β.Επειδή αβ=1 από το α. θα είναι
$α=2^{\dfrac{1}{4}},β=2^{-\dfrac{1}{4}}$.
Στο $Α_{4}$ το μήκος θα είναι $\dfrac{α}{4}$, το πλάτος $\dfrac{β}{4}$ και θα ισχύει
$\dfrac{β}{4}=2^{-\dfrac{9}{4}}$,
$\dfrac{α}{4}=2^{-\dfrac{7}{4}}$ με $α=-\dfrac{9}{4}$,
$β=-\dfrac{7}{4}$.