Διαστάσεις Α4

α) Έστω ότι ένα ορθογώνιο φύλλο χαρτιού, όταν διπλωθεί στη μέση και κοπεί κατά μήκος της πτυχής, σχηματίζει δύο μικρότερα φύλλα χαρτιού με τον ίδιο λόγο μήκους προς πλάτος με το αρχικό φύλλο.

Να βρεθεί ο λόγος του μήκους προς το πλάτος. Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

(β) Αν το αρχικό φύλλο χαρτιού, που περιγράφηκε παραπάνω, έχει εμβαδόν $1$ $m2$ το ονομάζουμε ${{\rm A}}_0$ φύλλο χαρτιού. 

Μπορεί να διπλωθεί στη μέση και να κοπεί για να σχηματίσει δύο φύλλα ${{\rm A}}_1$. Αυτά μπορούν να είναι να διπλωθούν στη μέση και να κοπούν για να σχηματίσουν φύλλα ${{\rm A}}_2$. 

Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία δημιουργούμε τα φύλλα ${{\rm A}}_3$ και ${{\rm A}}_4$ φύλλα χαρτιού. 

Το φύλλο χαρτιού ${{\rm A}}_4$ είναι το τυποποιημένο χαρτί γραφείου που χρησιμοποιείται στις περισσότερες χώρες  του κόσμου. 

Το φύλλο χαρτιού ${{\rm A}}_4$ έχει διαστάσεις $2^{\alpha }$ μέτρα επί $2^{\beta }$ μέτρα. 

Βρείτε τα $\alpha$ και $\beta$.