Τρία θέματα Απειροστικού Λογισμού Ι (2012)

Θέμα 4.(2,5 μονάδες) 

΄Εστω η συνάρτηση $f : R → R$ με $f(x) = x^2$, αν $x$ είναι άρρητος και $f(x) = x^3$, αν $x$ είναι ρητός. 

α) Εξετάστε αν η $f$ είναι $1-1$. 

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η $f$ είναι συνεχής. 

γ) Να βρείτε την παράγωγο της $f$ στα σημεία στα οποία είναι παραγωγίσιμη. 

Θέμα 5.(1,5 μονάδα) 

α) ΄Εστω δύο συνεχείς συναρτήσεις $f, g : [α, β] → R$ ώστε $f(x) > g(x)$ για κάθε $x ∈ [α, β]$.

Αποδείξτε ότι υπάρχει $c > 0$ ώστε 

$f(x) > g(x) + c$ 

για κάθε $x ∈ [α, β]$. 

β) Ισχύει το α) αν το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων είναι το $(α, β)$; 

Θέμα 6.(2 μονάδες) 

α) ΄Εστω $α, β, γ ∈ R$. Αποδείξτε ότι η εξίσωση 

$5αx^4+3βx2+2γx = α+β+γ$ 

έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα $(0, 1)$. 

β) Αποδείξτε ότι 

$\dfrac{lnx}{x} \leq \dfrac{1}{e}$  

για κάθε $x > 0$ και συγκρίνατε τους αριθμούς $e^π$ και $π^e$.

Απειροστικός Λογισμός Ι - Εξετάσεις 2012

Μαθηματικό Αθήνας