Τρία θέματα Απειροστικού Λογισμού Ι (2012)

Θέμα 4.(2,5 μονάδες) 

΄Εστω η συνάρτηση $f:R\to R$ με $f(x)=x^2$, αν $x$ είναι άρρητος και $f(x)=x^3$, αν $x$ είναι ρητός. 

α) Εξετάστε αν η $f$ είναι $1-1$. 

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η $f$ είναι συνεχής. 

γ) Να βρείτε την παράγωγο της $f$ στα σημεία στα οποία είναι παραγωγίσιμη. 

Θέμα 5.(1,5 μονάδα) 

α) ΄Εστω δύο συνεχείς συναρτήσεις $f,g:[\alpha ,\beta ]\to R$ ώστε $f(x)>g(x)$ για κάθε $x\in [\alpha ,\beta ]$.

Αποδείξτε ότι υπάρχει $c>0$ ώστε 

$f(x)>g(x)+c$ 

για κάθε $x\in [\alpha ,\beta ]$. 

β) Ισχύει το α) αν το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων είναι το $(\alpha ,\beta )$; 

Θέμα 6.(2 μονάδες) 

α) ΄Εστω $\alpha ,\beta ,\gamma \in R$. Αποδείξτε ότι η εξίσωση 

$5\alpha x^4+3\beta x2+2\gamma x=\alpha +\beta +\gamma$ 

έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα $(0,1)$. 

β) Αποδείξτε ότι 

${\displaystyle \frac{lnx}{x}}\le {\displaystyle \frac{1}{e}}$  

για κάθε $x>0$ και συγκρίνατε τους αριθμούς $e^{\pi }$ και ${\pi }^e$.

Απειροστικός Λογισμός Ι - Εξετάσεις 2012

Μαθηματικό Αθήνας