Ελάχιστη τιμή

Να βρεθεί η ελάχιστη τιμής της συνάρτησης (χωρίς παραγώγους):

$f(x)=\sqrt{x^2+4x+13}+\sqrt{x^2-8x+41}$

Λύση

Έχουμε 

$f(x)=\sqrt{x^2+4x+13}+\sqrt{x^2-8x+41}=$

$=\sqrt{(x+2{)}^2+9}+\sqrt{(x-4{)}^2+25}$

Ο πρώτος όρος $\sqrt{(x+2{)}^2+9}$ είναι η απόσταση του σημείου $(x,0)$ από το σημείο $(-2,-3)$ και ο δεύτερος όρος  $\sqrt{(x-4{)}^2+25}$ είναι η απόσταση του σημείου $(x,0)$ από το σημείο $(4,-5)$.

Προφανώς το άθροισμα της απόστασης από το $(x,0)$ είναι χαμηλότερο όταν τα $(x,0),(-2,3)$ και $(4,5)$ βρίσκονται σε ευθεία γραμμή που είναι (x,0) είναι στην ευθεία από ( -2,3) έως (4,5) τώρα καθώς το (x,0) βρίσκεται μεταξύ της ελάχιστης απόστασης από (-2.-3) έως (4,5)

δηλαδή 

$\sqrt{(4+2{)}^2+(5+3{)}^{2}9}=\sqrt{100}=10$.