Δύο πεζοπόροι ξεκίνησαν να περπατούν το μεσημέρι, ο $1$ος από το $Α$ στο $Β$, ο $2$ος από το $Β$ στο $Α$ στο ίδιο μονοπάτι.
Ο καθένας τους περπατούσε με σταθερή ταχύτητα.
Συναντήθηκαν στις $3$ το μεσημέρι. Ο πρώτος ήρθε στο $Β$ $2,5$ ώρες πριν ο $2$ος φτάσει στο $Α$.
Πότε ο δεύτερος πεζοπόρος έφτασε στο $Α$;
α. $6:00$ β. $6:30$ γ. $7:00$ δ. $7:30$ ε. $8:00$
δ. 7:30
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ δεύτερος πεζοπόρος έφτασε στο σημείο Α στις
ΑπάντησηΔιαγραφή7:30 π.μ.
Έστω d η απόσταση από το σημείο Α στο σημείο Β.
Έστω a η ταχύτητα του πρώτου πεζοπόρου.
Έστω b η ταχύτητα του δεύτερου πεζοπόρου.
Έστω t η ώρα του δεύτερου πεζοπόρου που φτάνει στο σημείο Α.
Όταν οι δύο πεζοπόροι συναντηθούν στις 3 μ.μ., ο πρώτος πεζοπόρος έχει διανύσει μια απόσταση 3*a, και ο δεύτερος πεζοπόρος έχει διανύσει μια απόσταση 3*b.
Εφόσον και οι δύο βρίσκονται στο ίδιο μονοπάτι οι αποστάσεις τους ισούνται με:
d=3*a+3*b (1)
Τη χρονική στιγμή (t-2,5), ο πρώτος πεζοπόρος έχει περπατήσει μια απόσταση:
d=(t-2,5)*a (2)
Τη χρονική στιγμή (t-2,5), ο δεύτερος πεζοπόρος έχει περπατήσει μια απόσταση:
d=t*b (3)
Λύνουμε ως προς a και b τις εξισώσεις (2) και (3) κι' έχομε:
d=(t-2,5)*a ===> a=d/(t-2,5) (4)
d=t*b ===> b=d/t (5)
Αντικαθιστούμε τις τιμές aκαι b των εξισώσεων (4) και(5) στην εξίσωση (3) κι' έχουμε:
d=3*a+3*b ===> d=(3*d)/(t-2,5)+(3*d)/t) ===>
d*t*(t-2,5)=3*d*t+3*d*(t-2,5) (6) ===>
Διαιρούμε και τα δύο μέλη της εξίσωσης (6) με το d κι' έχουμε:
d*t*(t-2,5)=3*d*t+3*d*(t-2,5) ===>
d*t*(t-2,5)/d=3*d*t/d+3*d*(t-2,5)/d ===>
t*(t-2,5)=3*t+3*(t-2,5)
t^2-2,5*t=3*t+3*t-7,5
t^2-2,5*t-3*t-3*t+7,5=0 ===> t^2-8,5*t+7,5=0 (7)
Βάσει του τύπου x=(-b±sqrt[(b^2)-4.a.c)])/2*a
της δευτεροβάθμιας εξίσωσης έχουμε:
t= (8,5±sqrt[(-8,5^2)-4.1.7,5)])/2*1 ===>
t= (8,5±sqrt[72,25-30])/2 ===>
t= (8,5±sqrt[42,25])/2 ===>
t= (8,5±6,5/2
t1=(8,5+6,5/2 ===> t1=15/2 ===> t1=7.5 (8)
t2=(8,5-6,5/2 ===> t2=2/2 ===> t2=1 (9)
Αποδεκτή μόνο η ρίζα t1=7,5, διότι η ρίζα t2=1 είναι πολύ νωρίς.
Άρα σωστή απάντηση είναι η (δ) 7:30 ώρες.
Επαλήθευση
t^2-8,5*t+7,5
1^2-8,5*7,5+7,5
1-63,75+7,5=55,25/24 ώρες =2:30 ώρες