.png)
$P_1(x)=ax^2-bx-c$
$P_2(x)=bx^2-cx-a$
$P_3(x)=cx^2-ax-b$
τρία πολυώνυμα όπου οι $a,\,b$ και $c$ είναι μη μηδενικοί πραγματικοί αριθμοί.
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός $k$ έτσι ώστε
$P_1(k)=P_2(k)=P_3(k)$
να αποδείξετε ότι $a=b=c$.
Aν $κ=0$ ισχύει το ζητούμενο.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈστω $k\neq0.$ Απο την υπόθεση, προκύπτoυν
$(a-b)k^2+(c-b)k=c-a$
$(b-c)k^2+(a-c)k=a-b$
Διαιρούμε κατά μέλη και προκύπτει
$(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)(k+1)=0$.
Σε κάθε περίπτωση έχουμε το ζητούμενο.