Μία ανισότητα, μία εξίσωση και ένα σύστημα [7]

Έστω $x,y$ και $z$ θετικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε $xyz=1$. Να αποδείξετε ότι 

$x+y+z+xy+yz+zx\le 3+{\left({\displaystyle \frac{x}{y}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{y}{z}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{z}{x}}\right)}^n$ 

για κάθε $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Να λυθεί η εξίσωση

$$\sqrt[3]{2x^3+6}=x+\sqrt{x^2-3x+3}.$$

Δίνεται το σύστημα 

$\{\begin{array}{ll}x\sqrt{y-m}+y\sqrt{z-m}+z\sqrt{x-m}& =6m\sqrt{m},\\ x^2+y^2+z^2& =12m^2,\end{array}$ 

όπου $m$ θετικός αριθμός. 

Να βρεθούν οι αριθμοί $x,y$ και $z$, συναρτήσει του $m$.