Μία ανισότητα, μία εξίσωση και ένα σύστημα [7]

Έστω $x,y$ και $z$ θετικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε $xyz=1$. Να αποδείξετε ότι 

$x+y+z+xy+yz+zx\leq 3+\left(\dfrac{x}{y}\right)^{n}+\left(\dfrac{y}{z}\right)^{n}+\left(\dfrac{z}{x}\right)^{n}$ 

για κάθε $n\in\mathbb{N}^{*}$.

Να λυθεί η εξίσωση

$$\sqrt[3]{2x^{3}+6}=x+\sqrt{x^{2}-3x+3}.$$

Δίνεται το σύστημα 

$\begin{cases} x\sqrt{y-m}+y\sqrt{z-m}+z\sqrt{x-m} & =6m\sqrt{m},\\ x^{2}+y^{2}+z^{2} & =12m^{2}, \end{cases}$ 

όπου $m$ θετικός αριθμός. 

Να βρεθούν οι αριθμοί $x,y$ και $z$, συναρτήσει του $m$.