Μία ανισότητα, μία εξίσωση και ένα σύστημα [4]

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του $T$ για την οποία η ανισότητα 

$${\displaystyle \frac{a+b}{b(a+1)}}+{\displaystyle \frac{b+c}{c(b+1)}}+{\displaystyle \frac{c+a}{a(c+1)}}\ge T$$

 ισχύει για όλους τους θετικούς αριθμούς $a,b,c$, με $abc=1$.

Να λυθεί η εξίσωση

 $$x^4-2x^3+\sqrt{2x^3+x^2+2}-2=0.$$

Να λυθεί το σύστημα 

$$\{\begin{array}{ll}{e}^x& =y+\sqrt{z^2+1}\\ e^y& =z+\sqrt{x^2+1}\\ e^z& =x+\sqrt{y^2+1}\end{array}$$