Μία ανισότητα, μία εξίσωση και ένα σύστημα [4]

Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του $T$ για την οποία η ανισότητα 

$$\dfrac{a+b}{b\left(a+1\right)}+\dfrac{b+c}{c\left(b+1\right)}+\dfrac{c+a}{a\left(c+1\right)}\geq T$$

 ισχύει για όλους τους θετικούς αριθμούς $a,b,c$, με $abc=1$.

Να λυθεί η εξίσωση

 $$x^{4}-2x^{3}+\sqrt{2x^{3}+x^{2}+2}-2=0.$$

Να λυθεί το σύστημα 

$$\begin{cases}e^{x}&=y+\sqrt{z^{2}+1} \\ e^{y}& =z+\sqrt{x^{2}+1} \\ e^{z}&=x+\sqrt{y^{2}+1}\end{cases}$$