Δευτέρα 8 Μαΐου 2023

Πολυωνυμικός βαθμός

Έστω $f, g$ δύο πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές τέτοια ώστε
$$f(χ^2+χ+1)=f(χ)g(χ)$$
για κάθε πραγματικό $x$.
Να αποδείξετε ότι ο βαθμός του πολυωνύμου $f$ είναι άρτιος.
Αναρτήθηκε από στις 8.5.23
Ετικέτες , ,

1 σχόλιο:

  1. papadim12 Μαΐου 2023 στις 10:34 μ.μ.

    Ωραίο πρόβλημα!
    Αν ο βαθμός του f(x) ήταν περιττός, το f(x) θα είχε υποχρεωτικά πραγματική ρίζα (οι μη πραγματικές εμφανίζονται ανά δύο). Αν ρ ήταν η μεγαλύτερη πραγματική ρίζα του f(x), θα είχαμε f(ρ)=0 => f(ρ)g(ρ)=f(ρ^2+ρ+1)=0
    Αλλά τότε η ρ^2+ρ+1>ρ θα ήταν επίσης πραγματική ρίζα του f(x), αντίφαση, αφού υποθέσαμε ότι η ρ ήταν η μεγαλύτερη...
    Άρα το f(x) είναι άρτιου βαθμού.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)