Ωραίο πρόβλημα! Αν ο βαθμός του f(x) ήταν περιττός, το f(x) θα είχε υποχρεωτικά πραγματική ρίζα (οι μη πραγματικές εμφανίζονται ανά δύο). Αν ρ ήταν η μεγαλύτερη πραγματική ρίζα του f(x), θα είχαμε f(ρ)=0 => f(ρ)g(ρ)=f(ρ^2+ρ+1)=0 Αλλά τότε η ρ^2+ρ+1>ρ θα ήταν επίσης πραγματική ρίζα του f(x), αντίφαση, αφού υποθέσαμε ότι η ρ ήταν η μεγαλύτερη... Άρα το f(x) είναι άρτιου βαθμού.
.png)
Ωραίο πρόβλημα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν ο βαθμός του f(x) ήταν περιττός, το f(x) θα είχε υποχρεωτικά πραγματική ρίζα (οι μη πραγματικές εμφανίζονται ανά δύο). Αν ρ ήταν η μεγαλύτερη πραγματική ρίζα του f(x), θα είχαμε f(ρ)=0 => f(ρ)g(ρ)=f(ρ^2+ρ+1)=0
Αλλά τότε η ρ^2+ρ+1>ρ θα ήταν επίσης πραγματική ρίζα του f(x), αντίφαση, αφού υποθέσαμε ότι η ρ ήταν η μεγαλύτερη...
Άρα το f(x) είναι άρτιου βαθμού.