Έχετε πολλά κουτιά στη σειρά. Το $1$ο κουτί δεν περιέχει νόμισμα. Τα επόμενα $2$ κουτιά το καθένα περιέχει $1$ νόμισμα. Τα επόμενα $4$ κουτιά περιέχουν από $2$ νομίσματα.
Τα επόμενα $8$ κουτιά το καθένα περιέχουν $3$ νομίσματα. Και ούτω καθεξής έτσι ώστε να υπάρχουν $2^Ν$ κουτιά που περιέχουν ακριβώς $Ν$ νομίσματα.
Αν προσθέσετε τα νομίσματα από όλα τα κουτιά που περιέχουν $1, 2, 3$ ή $4$ νομίσματα, θα έχετε $98$ κέρματα. Πόσα κέρματα παίρνετε όταν προσθέσετε τα κέρματα από όλα τα κουτιά που περιέχουν $1, 2, 3, ...,$ ή $Ν$ κέρματα;
S =n*2^n = 2 + 2*2^2 + 3*2^3 +…..+ n*2^n
ΑπάντησηΔιαγραφήS=2S-S = 2^2+2*2^3+3*2^4 + … +n*2^(n+1) –(2 + 2*2^2 + 3*2^3 +…..+ n*2^n)=
-2 - 2^2 - 2^3 -….- 2^n + n*2^(n+1) =
2 – 2^(n+1) + n*2^(n+1) =
(n-1)*2^(n+1) + 2