40η Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023 - ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ

Πρόβλημα 1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες, ώστε για κάθε να ισχύει ότι

.

Βόρεια Μακεδονία

Πρόβλημα 2

Δίνεται τρίγωνο , του οποίου ο εγγεγραμμένος κύκλος εφάπτεται στις πλευρές στα σημεία αντίστοιχα. Δίνεται επιπλέον ότι υπάρχει σημείο στην ευθεία τέτοιο, ώστε . Έστω το μέσο του τόξου του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου το οποίο δεν περιέχει το σημείο . Να αποδείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από το σημείο ή από το σημείο .

Ηνωμένο Βασίλειο

Πρόβλημα 3

Για κάθε θετικό ακέραιο , συμβολίζουμε με το πλήθος των διακεκριμένων πρώτων διαιρετών του (για παράδειγμα, και ). Να προσδιορίσετε όλα τα πολυώνυμα με ακέραιους συντελεστές τέτοια, ώστε όταν ο είναι θετικός ακέραιος με , τότε ο είναι επίσης θετικός ακέραιος με .

Ελλάδα (Μίνος Μαργαρίτης - Ιάσονας Προδρομίδης)

Πρόβλημα 4

Να προσδιορίσετε τον μέγιστο ακέραιο για τον οποίο ισχύει το εξής: Οποτεδήποτε η Αλίκη χρωματίσει κόκκινους, ακριβώς αριθμούς από το σύνολο , ο Βασίλης μπορεί να χρωματίσει μπλε, κάποιους από τους υπόλοιπους αχρωμάτιστους αριθμούς έτσι, ώστε το άθροισμα όλων των κόκκινων αριθμών να είναι ίσο με το άθροισμα όλων των μπλε αριθμών.

Πηγή: mathematica