Δευτέρα 24 Απριλίου 2023

Χωράει ?

Δείξτε ότι αν ένα ορθογώνιο, το οποίο έχει διπλάσιο μήκος από το πλάτος του, μπορεί να χωρέσει διαγώνια σε ένα τετράγωνο όπως φαίνεται παραπάνω, τότε μπορεί να επίσης να χωρέσει 
στο τετράγωνο με τις πλευρές του παράλληλες προς τις πλευρές του τετραγώνου.
Ισχύει αυτό αν το ορθογώνιο έχει τριπλάσιο μήκος από το πλάτος του;
Αναρτήθηκε από στις 24.4.23
Ετικέτες ,

2 σχόλια:

  1. Στράτος24 Απριλίου 2023 στις 12:18 μ.μ.

    Εστω α η πλευρά του τετραγώνου, Χ η μικρή πλευρά του ορθογωνίου και Κ φορές μεγαλύτερη η μεγάλη πλευρά του ορθογωνίου.
    Για να χωρέσει το ορθογώνιο μέσα στο τετράγωνο με τις πλευρές παράλληλες, θα πρέπει Κ*Χ<=α, ή α/Χ>=Κ
    Εξισώνοντας το εμβαδόν του τετραγώνου (α^2) με το άθροισμα των εμβαδών του ορθογωνίου και των τεσσάρων ορθογωνίων τριγώνων του σχήματος, καταλήγουμε τελικά στη σχέση:
    α/Χ=(1+Κ)/sqr(2)
    Οπότε η ζητούμενη συνθήκη α/Χ>=Κ, γίνεται Κ<=1+sqr(2)= 2,41 περίπου
    Αρα για Κ=2, το ορθογώνιο χωράει, ενώ για Κ=3 δεν χωράει

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. papadim24 Απριλίου 2023 στις 3:26 μ.μ.

    Συμφωνώ στην ουσία με το Στράτο, με μια κάπως διαφορετική προσέγγιση:
    Αν α και 2α οι διαστάσεις του ορθογωνίου και β η πλευρά του τετραγώνου, για να χωράει διαγώνια το πρώτο στο δεύτερο πρέπει:
    3α ≤ β√2 ⇒ β ≥ 3α/√2 (1)
    Αλλά 2α < 3α/√2 ≤ β, άρα όταν ικανοποιείται η (1) το ορθογώνιο χωράει πάντα και διαγώνια και παράλληλα.

    Αν τώρα το ορθογώνιο έχει διαστάσεις α και 3α, η συνθήκη για να χωράει διαγώνια σε τετράγωνο πλευράς β είναι:
    4α ≤ β√2 ⇒ β ≥ 4α/√2
    Αλλα 4α/√2 < 3α, οπότε στην περίπτωση που 4α/√2 ≤ β < 3α, το ορθογώνιο χωράει διαγώνια, όχι όμως και παράλληλα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)