Η πυραμίδα αυτή αποτελείται από $2$ ποτήρια στην κορυφή $(1×2)$, αυτά της νύφης και του γαμπρού, 6 ποτήρια στο επίπεδο ακριβώς από κάτω $(2×3)$, στη συνέχεια, κατεβαίνοντας προς τα κάτω, $12$ ποτήρια $(3×4)$, $20$ ποτήρια $(4×5)$, ..., μέχρι το κάτω κάτω επίπεδο που έχει $2001×2002$ ποτήρια.
Ποιος είναι ο συνολικός αριθμός των ποτηριών που απαιτούνται;
1×2+2×3+3×4+..+ν(ν+1) = ν(ν+1)(ν+2)/3 = Α (απλό..☺)
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια ν=2001 => Α=2.674.674.002
Βέβαια θέλει μία απόδειξη με επαγωγή (απλό)
ΔιαγραφήΚαλά το πας, συνέχισε..☺
ΔιαγραφήΤο θέμα που τίθεται όμως είναι αν μπορεί η φόρμουλα να αποδειχθεί ΧΩΡΙΣ επαγωγή. Μπορεί λες, Μιχάλη;;
ΔιαγραφήΘανάση, κάνω ότι δεν τα είδα όλα αυτά. Θα μου μιλάς σοβαρά (μαθηματικός είμαι ,δεν είμαι μαθητής σου), αν θέλεις να μπαίνω πιο συχνά εδώ...
ΑπάντησηΔιαγραφήΣοβαρά μιλάω πάντα, όσοι ξέρουν μαθηματικά το καταλαβαίνουν. Αλλά στην Ελλάδα είσαι ό,τι δηλώσεις (μην ψέγεις εμένα, αλλά τον Τσαρούχη..)
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν σαν 'εδώ' εννοείς τις αναρτήσεις που σχολιάζω, η παρουσία σου συνήθως δεν προσθέτει ούτε αφαιρεί τίποτε, οπότε κάνε ό,τι νομίζεις. Για τα υπόλοιπα, τα παράπονά σου στο δήμαρχο..
ΔιαγραφήΣοβαρά μιλάς όσον αφορά τα μαθηματικά και το ξέρω , αλλά γενικά με κοροϊδεύεις λίγο ..
ΔιαγραφήΌσο για την παρουσία μου, θα προσπαθήσω να γίνω πιο ενεργός, αλλά έχω πολλά μαθήματα με παιδιά χωρίς αυτό να αποτελεί κάποια δικαιολογία. Τα διασκεδαστικά μαθηματικά μου αρέσουν, αλλά δεν είναι το φόρτε μου..
Αν πάντως κάποιος φίλος, μαθηματικός ή μη, ξέρει απόδειξη της φόρμουλας ΧΩΡΙΣ χρήση επαγωγής, θα χαρώ να τη δω.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν όχι, επιφυλάσσομαι να τη δώσω ο ίδιος.
Εγώ σχολίασα κάτι στη λύση σου κι εσύ γιατί άρχισες να με κοροϊδεύεις; Απλά μία σημείωση έκανα για όσους δεν γνωρίζουν επαγωγή. Να σου πω την αλήθειά μου: Πριν σχολιάσω αυτώ για την επαγωγή, φοβόμουν μήπως μου επιτεθείς στα σχόλια, αλλά το άφησα ως έχει. Και άλλες μέρες μου έχει συμβεί να θέλω να επισημάνω κάτι ή να γράψω κάποια σκέψη αλλά δεν το έκανα, γιατί δεν είχα το κουράγιο να με σχολιάζεις από κάτω και να αρχίσει όλο αυτό...
ΑπάντησηΔιαγραφήΤέλος.-
Ευπρόσδεκτα τα σχόλια, αλλά αν θες να κάνεις μια σημείωση για όσους δεν ξέρουν επαγωγή, αντί να τη ζητάς από αυτούς που δεν ξέρουν, δίδαξέ τους την καλύτερα σε αυτό το παράδειγμα..
ΑπάντησηΔιαγραφήΔίνω μια απλή (😉) απόδειξη της φόρμουλας ΧΩΡΙΣ επαγωγή:
ΑπάντησηΔιαγραφήΈχουμε ν(ν+1)=ν^2+ν, οπότε
1*2+2*3+..+ν(ν+1)=(1^2+2^2+..+ν^2)+(1+2+..+ν)
Θέτουμε 1+2+..+ν=Σ1 και 1^2+2^2+..+ν^2=Σ2, οπότε πρέπει να δείξουμε ότι Σ2+Σ1=ν(ν+1)(ν+2)/3
Ισχύει ν^3-(ν-1)^3=3ν^2-3ν+1
Εφαρμόζουμε για ν=1,2,..,ν και προσθέτοντας κ.μ.παίρνουμε:
ν^3=3Σ2-3Σ1+ν => Σ2-Σ1=ν(ν+1)(ν-1)/3
Είναι Σ1=ν(ν+1)/2 => 2Σ1=ν(ν+1), οπότε:
(Σ2-Σ1)+2Σ1= ν(ν+1)(ν-1)/3+ν(ν+1) =>
Σ2+Σ1=ν(ν+1)(ν+2)/3, ό.έ.δ.
Όσο για την επαγωγική απόδειξη, σε άλλη τάξη..😏
Σν(ν+1) από ν=1 έως άπειρο=Σκ(κ+1)=Σκ^2+Σκ από κ=1έως κ=ν δηλ ν(ν+1)(2ν+1)/6+ν(ν+1)/2=
ΑπάντησηΔιαγραφή=ν(ν+1)(ν+2)/3 .
Για το γνωστό άθροισμα Σκ^2 αρκεί να εφαρμοστεί το τηλεσκοπικό άθροισμα στην ταυτότητα της διαφοράς κύβων ν^3-(ν-1)^3 για ν=1...ν
Λιτός και περιεκτικός!!
ΔιαγραφήΚατά τα άλλα, η σαμπάνια ρέει άφθονη, αλλά από επαγωγή σταγόνα..😶