Μια λανθασμένη εικασία

Το $1966$, μια εικασία $300$ ετών του Λέοναρντ Όιλερ αποδείχτηκε λανθασμένη. Ο Όιλερ είχε κάνει την εξής εικασία:

Μια νιοστή δύναμη $κ^ν$, αν γράφεται σαν άθροισμα με προσθετέους νιοστές δυνάμεις τότε το πλήθος των προσθετέων είναι μεγαλύτερο ή ίσο του $ν$.($κ,ν$ θετικοί ακέραιοι μεγαλύτεροι του $1$)

Δηλαδή, όλες οι εξισώσεις

$α^3+β^3=γ^3$

$α^4+β^4+γ^4=δ^4$

$α^5+β^5+γ^5+δ^5=ε^5$ κ.ο.κ δεν έχουν ακέραιες λύσεις

Δηλαδή, ένα τετράγωνο γράφεται σαν άθροισμα τουλάχιστον δυο τετραγώνων, ένας κύβος σαν άθροισμα τουλάχιστον τριών κύβων, μια τέταρτη δύναμη σαν άθροισμα τουλάχιστον τεσσάρων τέταρτων δυνάμεων κ.ο.κ.

Οι μαθηματικοί L. J. Lander και T. R. Parkin βρήκαν ένα αντιπαράδειγμα όπου μια πέμπτη δύναμη γράφεται ως άθροισμα τεσσάρων πέμπτων δυνάμεων:

$27^5+84^5+110^5+133^5=144^5$

Μόλις $22$ χρόνια αργότερα ο μαθηματικός Noam Elkies -τέσσερεις φορές νικητής του μαθηματικού διαγωνισμού Putnam και χρυσός ολυμπιονίκης στην μαθηματική ολυμπιάδα του 1981-του πανεπιστημίου του Χάρβαρντ βρήκε ένα αντιπαράδειγμα με τέταρτες δυνάμεις:

$2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4$

Το μικρότερο αντιπαράδειγμα το ανακάλυψε ο Roger Frye χρησιμοποιώντας ηλεκτρονικό υπολογιστή:

$95800^4 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4$

Πηγή: mathhmagic