Να αποδείξετε ότι κάπου κατά μήκος της διαδρομής ο αθλητής έτρεξε το ένα μίλι σε ακριβώς $5$ λεπτά.
Θεωρούμε ότι ο αθλητής δεν σταμάτησε πουθενά και έτρεχε συνεχώς αυτά τα $30$ λεπτά.
[L.C. Larson, Problem-Solving Through Problems, Springer-Verlag, 1990]
Από το περιοδικό «Ευκλείδης Β», τ. 122
Ορίζουμε Μ(τ), με τ από 0 έως 25, τη συνάρτηση που εκφράζει τα μίλια που διανύει ο δρομέας το 5λεπτο από από τ έως τ+5. Από τα δεδομένα, η Μ είναι συνεχής. Επίσης:
ΑπάντησηΔιαγραφήΜ(0)+Μ(5)+Μ(10)+Μ(15)+Μ(20)+Μ(25)=6
Αν κάποιος όρος του πιο πάνω αθροίσματος έχει τιμή 1, το αποδεικτέο ισχύει. Στην αντίθετη περίπτωση, υπάρχουν αναγκαστικα δύο διαδοχικοί όροι του αθροίσματος που ο ένας θα είναι μικρότερος του 1 και ο άλλος μεγαλύτερος του 1. Συνακόλουθα, λόγω συνέχειας, θα υπάρχει ενδιάμεση τιμή τ, τέτοια ώστε Μ(τ)=1