Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Θέμα 4ο από την Τράπεζα Θεμάτων (κωδικός θέματος 23199)

Έστω $f:(1,+\mathrm{\infty })$ μια παραγωγίσιμη συνάρτηση ώστε για κάθε $x>1$ να ισχύει:

$xf(x)f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{ και }f(e)=1.$

α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση 

$g(x)=f^2(x)-\ln x,x>1$ 

είναι σταθερή και να βρείτε τον τύπο της $f$.

(Μονάδες 9)

Έστω $f(x)=\sqrt{\ln x},x>1.$

β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία $A(e,0)$ και $B(e,1)$ εφάπτεται στη γραφική παράσταση της $f$ στο ${\rm B}$.

(Μονάδες 8)

γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε $x>1$ ισχύει:

${\displaystyle \frac{1}{x+1}}<f^2(x+1)-f^2(x)<{\displaystyle \frac{1}{x}}$

(Μονάδες 8)