Έστω \(f:(1,+\infty)\) μια παραγωγίσιμη συνάρτηση ώστε για κάθε \(x>1\) να ισχύει:
$xf(x)f'(x)=\dfrac{1}{2} \text{ και } f(e)=1.$
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
\(g(x)=f^2(x)-\ln{x},\quad x>1\)
είναι σταθερή και να βρείτε τον τύπο της \(f\).
(Μονάδες 9)
Έστω \(f(x)=\sqrt{\ln{x}},\quad x>1.\)
β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία \(A(e,0)\) και \(B(e,1)\) εφάπτεται στη γραφική παράσταση της \(f\) στο \(Β\).
(Μονάδες 8)
γ) Να αποδείξετε ότι για κάθε \(x>1\) ισχύει:
$\dfrac{1}{x+1}\lt f^2(x+1)-f^2(x)\lt \dfrac{1}{x}$
(Μονάδες 8)
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου